Номер 417, страница 176 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

417. Найдите площадь треугольника со сторонами 8 см, 12 см, 16 см.

Дано:

Стороны треугольника:

$a = 8\text{ см}$

$b = 12\text{ см}$

$c = 16\text{ см}$

Переводим данные в систему СИ:

$a = 8 \times 10^{-2}\text{ м}$

$b = 12 \times 10^{-2}\text{ м}$

$c = 16 \times 10^{-2}\text{ м}$

Найти:

Площадь треугольника $S$.

Решение:

Для нахождения площади треугольника по трем сторонам используем формулу Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Сначала найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2}$

$p = \frac{8\text{ см} + 12\text{ см} + 16\text{ см}}{2} = \frac{36\text{ см}}{2} = 18\text{ см}$

В системе СИ:

$p = \frac{0.08\text{ м} + 0.12\text{ м} + 0.16\text{ м}}{2} = \frac{0.36\text{ м}}{2} = 0.18\text{ м}$

Теперь вычислим значения $(p-a)$, $(p-b)$ и $(p-c)$:

$p-a = 18\text{ см} - 8\text{ см} = 10\text{ см}$

$p-b = 18\text{ см} - 12\text{ см} = 6\text{ см}$

$p-c = 18\text{ см} - 16\text{ см} = 2\text{ см}$

В системе СИ:

$p-a = 0.18\text{ м} - 0.08\text{ м} = 0.10\text{ м}$

$p-b = 0.18\text{ м} - 0.12\text{ м} = 0.06\text{ м}$

$p-c = 0.18\text{ м} - 0.16\text{ м} = 0.02\text{ м}$

Подставим эти значения в формулу Герона:

$S = \sqrt{18\text{ см} \times 10\text{ см} \times 6\text{ см} \times 2\text{ см}}$

$S = \sqrt{2160\text{ см}^4}$

Упростим выражение под корнем:

$2160 = 144 \times 15 = 12^2 \times 15$

$S = \sqrt{12^2 \times 15}\text{ см}^2 = 12\sqrt{15}\text{ см}^2$

В системе СИ:

$S = \sqrt{0.18\text{ м} \times 0.10\text{ м} \times 0.06\text{ м} \times 0.02\text{ м}}$

$S = \sqrt{0.0000216\text{ м}^4}$

$S = \sqrt{2160 \times 10^{-8}\text{ м}^4}$

$S = \sqrt{2160} \times 10^{-4}\text{ м}^2$

$S = 12\sqrt{15} \times 10^{-4}\text{ м}^2$

Поскольку $1\text{ м}^2 = 10^4\text{ см}^2$, то $10^{-4}\text{ м}^2 = 1\text{ см}^2$. Таким образом, результат в системе СИ соответствует результату в сантиметрах.

Ответ:

Площадь треугольника $S = 12\sqrt{15}\text{ см}^2$.