Номер 415, страница 176 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

415. Дана трапеция ABCD с основаниями $BC = 18$ см, $AD = 24$ см. Диагонали трапеции пересекаются в точке K, и площадь $\triangle AKD$ равна $84 \text{ см}^2$. Найдите площадь $\triangle BKC$.

Дано:

Трапеция $ABCD$ с основаниями $BC = 18$ см и $AD = 24$ см.

Диагонали трапеции пересекаются в точке $K$.

Площадь $\triangle AKD$ ($S_{AKD}$) равна $84$ см$^2$.

Перевод в СИ:

$BC = 18$ см $= 0.18$ м

$AD = 24$ см $= 0.24$ м

$S_{AKD} = 84$ см$^2 = 0.0084$ м$^2$

Найти:

Площадь $\triangle BKC$ ($S_{BKC}$).

Решение:

Рассмотрим треугольники $\triangle BKC$ и $\triangle AKD$.

Поскольку $ABCD$ является трапецией, её основания $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$).

При параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущих $BD$ и $AC$ имеем:

$\angle KBC = \angle KDA$ (как накрест лежащие углы).

$\angle KCB = \angle KAD$ (как накрест лежащие углы).

$\angle BKC = \angle AKD$ (как вертикальные углы).

Поскольку все три угла одного треугольника соответственно равны трём углам другого треугольника, $\triangle BKC$ подобен $\triangle AKD$ (по первому признаку подобия треугольников).

Коэффициент подобия $k$ этих треугольников равен отношению соответствующих сторон. В данном случае это отношение оснований трапеции:

$k = \frac{BC}{AD}$

Подставляем известные значения:

$k = \frac{18 \text{ см}}{24 \text{ см}} = \frac{3}{4}$

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_{BKC}}{S_{AKD}} = k^2$

$\frac{S_{BKC}}{S_{AKD}} = \left(\frac{BC}{AD}\right)^2$

Теперь выразим $S_{BKC}$:

$S_{BKC} = S_{AKD} \cdot \left(\frac{BC}{AD}\right)^2$

Подставляем известные значения $S_{AKD} = 84$ см$^2$ и $k = \frac{3}{4}$:

$S_{BKC} = 84 \text{ см}^2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2$

$S_{BKC} = 84 \cdot \frac{9}{16}$

$S_{BKC} = \frac{84 \cdot 9}{16}$

$S_{BKC} = \frac{756}{16}$

$S_{BKC} = 47.25$

Таким образом, площадь $\triangle BKC$ равна $47.25$ см$^2$.

Ответ: $47.25$ см$^2$.