Номер 406, страница 172 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

406. a) Около правильного треугольника со стороной 4 см описана окружность, и в него вписана окружность. Найдите площадь полученного при этом кольца.

б) Около правильного шестиугольника со стороной $b$ описана окружность, и в него вписана окружность. Найдите площадь кольца, образованного этими окружностями.

а)

Дано

сторона правильного треугольника $a = 4$ см

Перевод всех данных в систему СИ

$a = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

Найти:

Площадь кольца $S_{\text{кольца}}$

Решение

Площадь кольца, образованного описанной и вписанной окружностями, находится по формуле: $S_{\text{кольца}} = S_{\text{описанной}} - S_{\text{вписанной}}$.

Площадь круга выражается как $S = \pi r^2$, где $r$ – радиус. Следовательно, $S_{\text{кольца}} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2)$, где $R$ – радиус описанной окружности, а $r$ – радиус вписанной окружности.

Для правильного треугольника со стороной $a$ радиусы описанной и вписанной окружностей выражаются следующими формулами:

Радиус описанной окружности: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Радиус вписанной окружности: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Подставим значение $a = 4$ см:

$R = \frac{4}{\sqrt{3}}$ см

$r = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ см

Найдем квадраты радиусов:

$R^2 = \left(\frac{4}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{16}{3}$

$r^2 = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{4}{3}$

Теперь найдем площадь кольца:

$S_{\text{кольца}} = \pi \left(R^2 - r^2\right) = \pi \left(\frac{16}{3} - \frac{4}{3}\right) = \pi \left(\frac{16-4}{3}\right) = \pi \left(\frac{12}{3}\right) = 4\pi$

Ответ: $4\pi$ см$^2$

б)

Дано

сторона правильного шестиугольника $b$

Перевод всех данных в систему СИ

Сторона $b$ является буквенным обозначением длины и не требует численного перевода.

Найти:

Площадь кольца $S_{\text{кольца}}$

Решение

Площадь кольца находится по формуле: $S_{\text{кольца}} = \pi (R^2 - r^2)$, где $R$ – радиус описанной окружности, а $r$ – радиус вписанной окружности.

Для правильного шестиугольника со стороной $b$ радиусы описанной и вписанной окружностей выражаются следующими формулами:

Радиус описанной окружности: $R = b$

Радиус вписанной окружности: $r = \frac{b\sqrt{3}}{2}$

Найдем квадраты радиусов:

$R^2 = b^2$

$r^2 = \left(\frac{b\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{b^2 \cdot (\sqrt{3})^2}{2^2} = \frac{3b^2}{4}$

Теперь найдем площадь кольца:

$S_{\text{кольца}} = \pi \left(R^2 - r^2\right) = \pi \left(b^2 - \frac{3b^2}{4}\right)$

Приведем к общему знаменателю:

$S_{\text{кольца}} = \pi \left(\frac{4b^2}{4} - \frac{3b^2}{4}\right) = \pi \left(\frac{4b^2 - 3b^2}{4}\right) = \pi \frac{b^2}{4}$

Ответ: $\frac{\pi b^2}{4}$