Номер 399, страница 171 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

399. Найдите диагонали правильного восьмиугольника, сторона которого равна 8 см.

Дано

Сторона правильного восьмиугольника $a = 8 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$a = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$.

Найти:

Длины всех различных диагоналей правильного восьмиугольника.

Решение

Правильный восьмиугольник имеет три типа различных диагоналей по длине:

• Короткая диагональ

  Короткая диагональ соединяет вершины, между которыми находится одна сторона восьмиугольника (например, $V_1$ и $V_3$). Ее длина $d_1$ может быть найдена с помощью теоремы косинусов в треугольнике, образованном двумя сторонами восьмиугольника и этой диагональю. Угол между сторонами правильного восьмиугольника равен $\alpha = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n} = \frac{(8-2) \times 180^\circ}{8} = 135^\circ$. Тогда $d_1^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos(135^\circ)$. $d_1^2 = 2a^2 - 2a^2(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2a^2 + a^2\sqrt{2} = a^2(2+\sqrt{2})$. $d_1 = a\sqrt{2+\sqrt{2}}$.

  Подставляем $a=8 \text{ см}$: $d_1 = 8\sqrt{2+\sqrt{2}} \text{ см}$.

  Приблизительное значение: $d_1 \approx 8 \times 1.847759 \approx 14.782 \text{ см}$.

  Ответ: $8\sqrt{2+\sqrt{2}} \text{ см}$

• Средняя диагональ

  Средняя диагональ соединяет вершины, между которыми находятся две стороны восьмиугольника (например, $V_1$ и $V_4$). Ее длина $d_2$ может быть выражена через сторону $a$. Радиус описанной окружности $R = \frac{a}{2\sin(\pi/8)}$. Длина средней диагонали $d_2 = 2R \sin(3\pi/8)$. $d_2 = \frac{a}{\sin(\pi/8)} \sin(3\pi/8)$. Поскольку $\sin(3\pi/8) = \cos(\pi/2 - 3\pi/8) = \cos(\pi/8)$, то $d_2 = a \frac{\cos(\pi/8)}{\sin(\pi/8)} = a \cot(\pi/8)$. Используя значения $\sin(\pi/8) = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$ и $\cos(\pi/8) = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$, получаем: $d_2 = a \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}/2}{\sqrt{2-\sqrt{2}}/2} = a \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{\sqrt{2-\sqrt{2}}}$. Домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2+\sqrt{2}}$: $d_2 = a \frac{(\sqrt{2+\sqrt{2}})^2}{\sqrt{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}} = a \frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{4-2}} = a \frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = a \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}} = a(1+\sqrt{2})$.

  Подставляем $a=8 \text{ см}$: $d_2 = 8(1+\sqrt{2}) \text{ см}$.

  Приблизительное значение: $d_2 \approx 8 \times 2.414214 \approx 19.314 \text{ см}$.

  Ответ: $8(1+\sqrt{2}) \text{ см}$

• Длинная диагональ

  Длинная диагональ соединяет противоположные вершины восьмиугольника, проходя через его центр (например, $V_1$ и $V_5$). Ее длина $d_3$ равна диаметру описанной окружности, $d_3 = 2R$. Радиус описанной окружности $R = \frac{a}{2\sin(\pi/8)}$. Тогда $d_3 = \frac{a}{\sin(\pi/8)}$. Используем $\sin(\pi/8) = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$: $d_3 = \frac{a}{\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}} = \frac{2a}{\sqrt{2-\sqrt{2}}}$. Домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2+\sqrt{2}}$: $d_3 = \frac{2a\sqrt{2+\sqrt{2}}}{\sqrt{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}} = \frac{2a\sqrt{2+\sqrt{2}}}{\sqrt{4-2}} = \frac{2a\sqrt{2+\sqrt{2}}}{\sqrt{2}} = a\sqrt{2}\sqrt{2+\sqrt{2}} = a\sqrt{2(2+\sqrt{2})} = a\sqrt{4+2\sqrt{2}}$.

  Подставляем $a=8 \text{ см}$: $d_3 = 8\sqrt{4+2\sqrt{2}} \text{ см}$.

  Приблизительное значение: $d_3 \approx 8 \times 2.613126 \approx 20.905 \text{ см}$.

  Ответ: $8\sqrt{4+2\sqrt{2}} \text{ см}$

Ответ: Короткая диагональ $8\sqrt{2+\sqrt{2}} \text{ см}$, средняя диагональ $8(1+\sqrt{2}) \text{ см}$, длинная диагональ $8\sqrt{4+2\sqrt{2}} \text{ см}$.