Номер 393, страница 171 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

393. Через точку, находящуюся на расстоянии $b$ от центра данной окружности, проведены к ней две касательные, угол между которыми равен $\alpha$. Найдите площадь правильного треугольника, вписанного в эту окружность.

Дано:

Расстояние от точки до центра окружности: $OP = b$

Угол между касательными, проведенными из этой точки: $\angle APB = a$

Найти:

Площадь правильного треугольника, вписанного в окружность: $S_{треугольника}$

Решение:

Пусть $O$ - центр данной окружности, $R$ - ее радиус. Пусть $P$ - точка, из которой проведены касательные к окружности, а $A$ и $B$ - точки касания.

1. Определение радиуса окружности.

Линия, соединяющая центр окружности $O$ с внешней точкой $P$, из которой проведены касательные, является биссектрисой угла между касательными. Следовательно, $\angle OPA = \frac{a}{2}$.

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Поэтому треугольник $OAP$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$.

В прямоугольном треугольнике $OAP$ имеем:
$OA = R$ (радиус окружности)
$OP = b$ (расстояние от точки до центра)

Используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике:
$\sin(\angle OPA) = \frac{OA}{OP}$
$\sin\left(\frac{a}{2}\right) = \frac{R}{b}$

Из этого соотношения выразим радиус $R$:
$R = b \cdot \sin\left(\frac{a}{2}\right)$

2. Нахождение площади правильного треугольника, вписанного в окружность.

Площадь правильного (равностороннего) треугольника, вписанного в окружность радиуса $R$, можно найти по формуле:
$S_{треугольника} = \frac{3\sqrt{3}}{4} R^2$

Подставим ранее найденное выражение для $R$ в эту формулу площади:
$S_{треугольника} = \frac{3\sqrt{3}}{4} \left(b \cdot \sin\left(\frac{a}{2}\right)\right)^2$
$S_{треугольника} = \frac{3\sqrt{3}}{4} b^2 \sin^2\left(\frac{a}{2}\right)$

Ответ:

Площадь правильного треугольника, вписанного в данную окружность, равна $S = \frac{3\sqrt{3}}{4} b^2 \sin^2\left(\frac{a}{2}\right)$.