Номер 390, страница 170 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

390. a) Сторона вписанного в окружность квадрата равна $8\sqrt{2}$ см. Найдите площадь описанного около этой окружности правильного треугольника.

б) Каждая сторона описанного около окружности треугольника на $\sqrt{6}$ см больше стороны правильного четырехугольника, вписанного в нее. Найдите сторону треугольника.

в) Разность между радиусами окружностей, описанной около правильного треугольника и вписанной в него, равна 4 см. Найдите площадь этого треугольника.

a)

Дано:

Сторона квадрата, вписанного в окружность: $a_4 = 8\sqrt{2}$ см.

Перевод в СИ:

Сторона квадрата $a_4 = 8\sqrt{2}$ см $= 8\sqrt{2} \cdot 10^{-2}$ м.

Найти:

Площадь правильного треугольника, описанного около этой окружности: $S_3$.

Решение:

Пусть $R$ - радиус окружности.

Для квадрата со стороной $a_4$, вписанного в окружность, радиус описанной окружности $R$ связан со стороной квадрата формулой $a_4 = R\sqrt{2}$.

Отсюда, $R = \frac{a_4}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 8$ см.

Радиус окружности, описанной около квадрата, является одновременно радиусом окружности, вписанной в правильный треугольник, описанный около этой же окружности. То есть, радиус вписанной окружности для треугольника $r = R = 8$ см.

Сторона $a_3$ правильного треугольника, описанного около окружности радиуса $r$, определяется по формуле $a_3 = 2r\sqrt{3}$.

$a_3 = 2 \cdot 8 \cdot \sqrt{3} = 16\sqrt{3}$ см.

Площадь правильного треугольника $S_3$ со стороной $a_3$ вычисляется по формуле $S_3 = \frac{a_3^2\sqrt{3}}{4}$.

$S_3 = \frac{(16\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16^2 \cdot (\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{256 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{768\sqrt{3}}{4} = 192\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $192\sqrt{3}$ см$^2$.

б)

Дано:

Разность между стороной описанного около окружности треугольника $a_3$ и стороной правильного четырехугольника (квадрата) $a_4$, вписанного в ту же окружность: $a_3 - a_4 = \sqrt{6}$ см.

Перевод в СИ:

Разность сторон $a_3 - a_4 = \sqrt{6}$ см $= \sqrt{6} \cdot 10^{-2}$ м.

Найти:

Сторона треугольника $a_3$.

Решение:

Пусть $R$ - радиус окружности.

Сторона правильного четырехугольника (квадрата), вписанного в окружность радиуса $R$, равна $a_4 = R\sqrt{2}$.

Сторона правильного треугольника, описанного около окружности радиуса $R$ (радиус этой окружности является радиусом вписанной окружности для треугольника), равна $a_3 = 2R\sqrt{3}$.

По условию задачи, $a_3 - a_4 = \sqrt{6}$.

Подставим выражения для $a_3$ и $a_4$ в данное равенство:

$2R\sqrt{3} - R\sqrt{2} = \sqrt{6}$

Вынесем $R$ за скобки:

$R(2\sqrt{3} - \sqrt{2}) = \sqrt{6}$

Выразим $R$:

$R = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3} - \sqrt{2}}$

Рационализируем знаменатель, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2\sqrt{3} + \sqrt{2})$:

$R = \frac{\sqrt{6}(2\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(2\sqrt{3} - \sqrt{2})(2\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{18} + \sqrt{12}}{(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}$

$R = \frac{2 \cdot 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{4 \cdot 3 - 2} = \frac{6\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{12 - 2} = \frac{6\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{10} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{3}}{5}$ см.

Теперь найдем сторону треугольника $a_3$:

$a_3 = 2R\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \cdot \left(\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{3}}{5}\right)$

$a_3 = \frac{2\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{5} = \frac{6\sqrt{6} + 2 \cdot 3}{5} = \frac{6\sqrt{6} + 6}{5}$ см.

Ответ: $\frac{6\sqrt{6} + 6}{5}$ см.

в)

Дано:

Разность между радиусами окружностей, описанной около правильного треугольника ($R$) и вписанной в него ($r$): $R - r = 4$ см.

Перевод в СИ:

Разность радиусов $R - r = 4$ см $= 4 \cdot 10^{-2}$ м.

Найти:

Площадь этого треугольника $S_3$.

Решение:

Для правильного треугольника радиус описанной окружности $R$ и радиус вписанной окружности $r$ связаны соотношением $R = 2r$.

Подставим это соотношение в данное условие $R - r = 4$:

$2r - r = 4$

$r = 4$ см.

Тогда радиус описанной окружности $R = 2r = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Сторона правильного треугольника $a_3$ может быть найдена через радиус вписанной окружности $r$ по формуле $a_3 = 2r\sqrt{3}$.

$a_3 = 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см.

Площадь правильного треугольника $S_3$ со стороной $a_3$ вычисляется по формуле $S_3 = \frac{a_3^2\sqrt{3}}{4}$.

$S_3 = \frac{(8\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{8^2 \cdot (\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{64 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{192\sqrt{3}}{4} = 48\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $48\sqrt{3}$ см$^2$.