Номер 385, страница 169 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

385. a) Для изготовления колпака к новогоднему костюму вырезают сектор так, чтобы длина дуги сектора была равна обхвату головы. Найдите градусную меру дуги такого сектора, если его радиус 20 см, а обхват головы 52 см.

б) Диаметр основания юрты 5 м (рисунок 204). Чтобы накрыть войлоком крышу юрты, нужно вырезать сектор радиуса 2,76 м. Найдите градусную меру дуги этого сектора и его площадь.

Рисунок 204

а)

Дано

Радиус сектора $R = 20 \text{ см}$

Длина дуги сектора $L = 52 \text{ см}$

Перевод в СИ

$R = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$

$L = 52 \text{ см} = 0.52 \text{ м}$

Найти

Градусная мера дуги $\alpha$

Решение

Длина дуги сектора $L$ связана с радиусом $R$ и градусной мерой угла $\alpha$ формулой:

$L = \frac{\pi R \alpha}{180}$

Из этой формулы выразим градусную меру угла $\alpha$:

$\alpha = \frac{180 L}{\pi R}$

Подставим известные значения:

$\alpha = \frac{180 \times 52}{\pi \times 20}$

$\alpha = \frac{9360}{20\pi}$

$\alpha = \frac{468}{\pi}$

Приближенное значение:

$\alpha \approx \frac{468}{3.14159} \approx 149.09^\circ$

Ответ: $149.09^\circ$

б)

Дано

Диаметр основания юрты $D = 5 \text{ м}$

Радиус сектора для крыши юрты $R_с = 2.76 \text{ м}$

Перевод в СИ

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти

Градусная мера дуги $\alpha_ю$

Площадь сектора $S_с$

Решение

Чтобы накрыть войлоком крышу юрты, которая имеет форму конуса, вырезают сектор. Длина дуги этого сектора будет равна длине окружности основания юрты, а радиус сектора будет образующей конуса.

Найдем радиус основания юрты $r$:

$r = \frac{D}{2} = \frac{5 \text{ м}}{2} = 2.5 \text{ м}$

Найдем длину окружности основания юрты $C$:

$C = 2\pi r = 2\pi \times 2.5 = 5\pi \text{ м}$

Длина дуги сектора $L_с$ равна длине окружности основания юрты $C$:

$L_с = 5\pi \text{ м}$

Найдем градусную меру дуги $\alpha_ю$ сектора по формуле:

$L_с = \frac{\pi R_с \alpha_ю}{180}$

Выразим $\alpha_ю$:

$\alpha_ю = \frac{180 L_с}{\pi R_с}$

Подставим значения:

$\alpha_ю = \frac{180 \times 5\pi}{\pi \times 2.76}$

$\alpha_ю = \frac{180 \times 5}{2.76} = \frac{900}{2.76}$

Приближенное значение:

$\alpha_ю \approx 326.09^\circ$

Найдем площадь сектора $S_с$ по формуле:

$S_с = \frac{1}{2} R_с L_с$

Подставим значения:

$S_с = \frac{1}{2} \times 2.76 \times 5\pi$

$S_с = 1.38 \times 5\pi = 6.9\pi \text{ м}^2$

Приближенное значение:

$S_с \approx 6.9 \times 3.14159 \approx 21.68 \text{ м}^2$

Ответ: Градусная мера дуги $326.09^\circ$, площадь $21.68 \text{ м}^2$.