Номер 383, страница 169 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

383. В правильный треугольник $ABC$ со стороной 12 см вписана окружность и проведена вторая окружность с центром в точке $C$ и радиусом 6 см. Найдите площадь общей части полученных кругов.

Дано

Правильный треугольник $ABC$ со стороной $a = 12$ см.
Первая окружность вписана в треугольник $ABC$.
Вторая окружность с центром в точке $C$ и радиусом $R_2 = 6$ см.

Перевод в СИ

$a = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$
$R_2 = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Площадь общей части полученных кругов $S_{общ}$.

Решение

1. Найдем радиус первой (вписанной) окружности $r_1$. Для правильного треугольника со стороной $a$ радиус вписанной окружности вычисляется по формуле: $r_1 = \frac{a}{2\sqrt{3}}$
Подставляем значение $a = 12$ см: $r_1 = \frac{12}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

2. Найдем расстояние $d$ между центрами окружностей. Центр первой окружности ($O_1$) совпадает с центроидом (точкой пересечения медиан, высот и биссектрис) правильного треугольника. Расстояние от вершины $C$ до центроида $O_1$ равно радиусу описанной окружности $R_{circ}$, так как медиана в правильном треугольнике делится центроидом в отношении 2:1, считая от вершины. Длина медианы (и высоты) $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Расстояние от вершины до центроида равно $\frac{2}{3}h$. $d = O_1C = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Подставляем значение $a = 12$ см: $d = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Радиус второй окружности $R_2 = 6$ см.

3. Площадь общей части двух пересекающихся кругов является суммой площадей двух круговых сегментов, образованных общей хордой. Для определения этих сегментов нам нужно найти центральные углы, соответствующие общей хорде в каждой окружности. Пусть точки пересечения окружностей - $P$ и $Q$. Треугольник $O_1CP$ имеет стороны $r_1$, $R_2$, $d$.

4. Найдем половину центрального угла $\alpha_1$ для первой окружности (с центром $O_1$) по теореме косинусов в треугольнике $O_1CP$: $\cos(\alpha_1) = \frac{r_1^2 + d^2 - R_2^2}{2r_1 d}$
$\cos(\alpha_1) = \frac{(2\sqrt{3})^2 + (4\sqrt{3})^2 - 6^2}{2 \cdot (2\sqrt{3}) \cdot (4\sqrt{3})} = \frac{12 + 48 - 36}{2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}$
Следовательно, $\alpha_1 = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$ радиан. Центральный угол $2\alpha_1 = \frac{2\pi}{3}$ радиан.

5. Найдем половину центрального угла $\alpha_2$ для второй окружности (с центром $C$) по теореме косинусов в треугольнике $O_1CP$: $\cos(\alpha_2) = \frac{R_2^2 + d^2 - r_1^2}{2R_2 d}$
$\cos(\alpha_2) = \frac{6^2 + (4\sqrt{3})^2 - (2\sqrt{3})^2}{2 \cdot 6 \cdot (4\sqrt{3})} = \frac{36 + 48 - 12}{48\sqrt{3}} = \frac{72}{48\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Следовательно, $\alpha_2 = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$ радиан. Центральный угол $2\alpha_2 = \frac{\pi}{3}$ радиан.

6. Вычислим площадь кругового сегмента первой окружности $S_{seg1}$. Формула площади сегмента: $S_{seg} = r^2 (\alpha - \frac{1}{2}\sin(2\alpha))$. $S_{seg1} = r_1^2 \left(\alpha_1 - \frac{1}{2}\sin(2\alpha_1)\right)$
$S_{seg1} = (2\sqrt{3})^2 \left(\frac{\pi}{3} - \frac{1}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right) = 12 \left(\frac{\pi}{3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 12 \left(\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right) = 4\pi - 3\sqrt{3}$ см$^2$.

7. Вычислим площадь кругового сегмента второй окружности $S_{seg2}$. $S_{seg2} = R_2^2 \left(\alpha_2 - \frac{1}{2}\sin(2\alpha_2)\right)$
$S_{seg2} = 6^2 \left(\frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) = 36 \left(\frac{\pi}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 36 \left(\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right) = 6\pi - 9\sqrt{3}$ см$^2$.

8. Площадь общей части кругов $S_{общ}$ равна сумме площадей этих двух сегментов: $S_{общ} = S_{seg1} + S_{seg2}$
$S_{общ} = (4\pi - 3\sqrt{3}) + (6\pi - 9\sqrt{3}) = 10\pi - 12\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ:

Площадь общей части полученных кругов равна $(10\pi - 12\sqrt{3})$ см$^2$.