Номер 377, страница 168 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

377. В круге радиуса $R$ проведены две параллельные хорды, каждая из которых стягивает дугу в $\frac{2\pi}{3}$ радиан. Найдите площадь части круга, которая находится между этими хордами.

Дано:

Радиус круга: $R$

Две параллельные хорды, каждая из которых стягивает дугу: $\alpha = \frac{2\pi}{3}$ радиан

Найти:

Площадь части круга, которая находится между этими хордами.

Решение:

Поскольку две хорды параллельны и каждая стягивает одинаковую дугу (следовательно, имеют одинаковую длину), они должны быть расположены симметрично относительно центра круга. Это означает, что они находятся на одинаковом расстоянии от центра по разные стороны от него.

1. Найдем расстояние $h$ от центра круга до одной из хорд. Для хорды, стягивающей центральный угол $\alpha$, расстояние от центра до хорды определяется по формуле: $h = R \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Подставим значение $\alpha = \frac{2\pi}{3}$:

$h = R \cos\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{3}\right) = R \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$

Так как $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$, получаем:

$h = R \cdot \frac{1}{2} = \frac{R}{2}$

2. Искомая площадь части круга между хордами может быть найдена как разность между площадью всего круга и суммой площадей двух круговых сегментов, отсекаемых этими хордами (каждый сегмент находится "снаружи" от искомой области).

3. Площадь всего круга $S_{circle}$ вычисляется по формуле: $S_{circle} = \pi R^2$.

4. Площадь одного кругового сегмента $S_{segment}$ вычисляется по формуле: $S_{segment} = \frac{1}{2}R^2(\alpha - \sin\alpha)$.

Подставим значение $\alpha = \frac{2\pi}{3}$:

Для $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)$ имеем: $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Тогда площадь одного сегмента равна:

$S_{segment} = \frac{1}{2}R^2\left(\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

5. Площадь части круга между двумя хордами $S_{between\_chords}$ равна площади круга минус две площади сегментов:

$S_{between\_chords} = S_{circle} - 2 \cdot S_{segment}$

$S_{between\_chords} = \pi R^2 - 2 \cdot \frac{1}{2}R^2\left(\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$S_{between\_chords} = \pi R^2 - R^2\left(\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$S_{between\_chords} = \pi R^2 - \frac{2\pi}{3}R^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}R^2$

Вынесем $R^2$ за скобки:

$S_{between\_chords} = R^2\left(\pi - \frac{2\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Приведем члены с $\pi$ к общему знаменателю:

$S_{between\_chords} = R^2\left(\frac{3\pi - 2\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$S_{between\_chords} = R^2\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Ответ:

$R^2\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$