Номер 375, страница 168 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

375. Угол между касательной к окружности и ее хордой, проведенной в точку касания, равен 60°. Найдите площадь сектора, содержащего данную хорду, если длина этой хорды равна 6 м.

Дано:

Угол между касательной к окружности и ее хордой: $\alpha = 60^\circ$

Длина хорды: $l = 6 \text{ м}$

Найти:

Площадь сектора $S_{сектора}$

Решение:

По свойству угла между касательной и хордой, проведенной в точку касания, градусная мера дуги, заключенной между ними, равна удвоенному значению этого угла. Следовательно, градусная мера дуги, стягиваемой данной хордой, составляет:

$\text{Дуга} = 2 \cdot \alpha = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$

Центральный угол $\theta$, соответствующий этой дуге (и являющийся углом сектора), равен градусной мере дуги:

$\theta = 120^\circ$

Далее, используем формулу для длины хорды $l$ через радиус $R$ окружности и центральный угол $\theta$:

$l = 2R \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$

Подставим известные значения:

$6 = 2R \sin\left(\frac{120^\circ}{2}\right)$

$6 = 2R \sin(60^\circ)$

Известно, что $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим это значение:

$6 = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$6 = R\sqrt{3}$

Выразим радиус $R$:

$R = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \text{ м}$

Теперь найдем площадь сектора. Формула для площади сектора с центральным углом $\theta$ (в градусах) и радиусом $R$:

$S_{сектора} = \frac{\theta}{360^\circ} \pi R^2$

Подставим значения $\theta = 120^\circ$ и $R = 2\sqrt{3}$:

$S_{сектора} = \frac{120^\circ}{360^\circ} \pi (2\sqrt{3})^2$

$S_{сектора} = \frac{1}{3} \pi (4 \cdot 3)$

$S_{сектора} = \frac{1}{3} \pi \cdot 12$

$S_{сектора} = 4\pi \text{ м}^2$

Ответ:

$4\pi \text{ м}^2$