Номер 381, страница 168 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

381. Вычислите площадь круга, описанного около треугольника, если:

a) он равнобедренный, с основанием 12 см и боковой стороной 10 см;

б) сторона треугольника равна 5 см, а прилежащие к ней углы – $40^\circ$ и $80^\circ$.

a) он равнобедренный, с основанием 12 см и боковой стороной 10 см

Дано:

треугольник abc - равнобедренный

основание $b = 12 \text{ см}$

боковая сторона $a = 10 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$b = 0.12 \text{ м}$

$a = 0.10 \text{ м}$

Найти:

площадь описанного круга $S_{кр}$

Решение:

обозначим стороны равнобедренного треугольника как $a$, $c$ (равные боковые стороны) и $b$ (основание). в данном случае $a = 10 \text{ см}$, $c = 10 \text{ см}$, $b = 12 \text{ см}$.

площадь круга, описанного около треугольника, вычисляется по формуле $S_{кр} = \pi R^2$, где $R$ — радиус описанной окружности.

радиус описанной окружности $R$ для треугольника со сторонами $a, b, c$ и площадью $S_{тр}$ вычисляется по формуле: $R = \frac{abc}{4S_{тр}}$.

найдем высоту $h$ равнобедренного треугольника, опущенную на основание $b$. она делит основание пополам. по теореме пифагора:

$h^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = a^2$

$h^2 + \left(\frac{12}{2}\right)^2 = 10^2$

$h^2 + 6^2 = 10^2$

$h^2 + 36 = 100$

$h^2 = 100 - 36$

$h^2 = 64$

$h = 8 \text{ см}$

теперь найдем площадь треугольника $S_{тр}$:

$S_{тр} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h$

$S_{тр} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8$

$S_{тр} = 48 \text{ см}^2$

теперь найдем радиус описанной окружности $R$:

$R = \frac{10 \cdot 10 \cdot 12}{4 \cdot 48}$

$R = \frac{1200}{192}$

$R = 6.25 \text{ см}$

наконец, вычислим площадь описанного круга $S_{кр}$:

$S_{кр} = \pi R^2$

$S_{кр} = \pi (6.25)^2$

$S_{кр} = 39.0625\pi \text{ см}^2$

Ответ: $39.0625\pi \text{ см}^2$

б) сторона треугольника равна 5 см, а прилежащие к ней углы – 40° и 80°

Дано:

сторона треугольника $c = 5 \text{ см}$

прилежащие углы $\alpha = 40^\circ$, $\beta = 80^\circ$

Перевод в СИ:

$c = 0.05 \text{ м}$

$\alpha = 40^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{2\pi}{9} \text{ рад}$

$\beta = 80^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{4\pi}{9} \text{ рад}$

Найти:

площадь описанного круга $S_{кр}$

Решение:

площадь круга, описанного около треугольника, вычисляется по формуле $S_{кр} = \pi R^2$, где $R$ — радиус описанной окружности.

для нахождения радиуса $R$ воспользуемся теоремой синусов: $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$.

сначала найдем третий угол $\gamma$ треугольника, используя свойство суммы углов треугольника:

$\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$

$\gamma = 180^\circ - (40^\circ + 80^\circ)$

$\gamma = 180^\circ - 120^\circ$

$\gamma = 60^\circ$

теперь, используя теорему синусов, найдем радиус $R$:

$2R = \frac{c}{\sin \gamma}$

$2R = \frac{5}{\sin 60^\circ}$

мы знаем, что $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$2R = \frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$2R = \frac{10}{\sqrt{3}}$

$R = \frac{5}{\sqrt{3}} \text{ см}$

наконец, вычислим площадь описанного круга $S_{кр}$:

$S_{кр} = \pi R^2$

$S_{кр} = \pi \left(\frac{5}{\sqrt{3}}\right)^2$

$S_{кр} = \pi \frac{25}{3} \text{ см}^2$

Ответ: $\frac{25\pi}{3} \text{ см}^2$