Номер 379, страница 168 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

379. Известно, что сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, на 4 см больше стороны правильного четырехугольника, вписанного в нее. Найдите площадь круга, ограниченного окружностью.

Дано:

Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность: $a_3$
Сторона правильного четырехугольника (квадрата), вписанного в ту же окружность: $a_4$
Разность сторон: $a_3 - a_4 = 4$ см

Перевод в СИ:

4 см = 0.04 м

Найти:

Площадь круга, ограниченного окружностью: $S_{круга}$

Решение:

Пусть $R$ — радиус окружности. Сторона правильного $n$-угольника, вписанного в окружность радиуса $R$, выражается формулой: $a_n = 2R \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$.

Для правильного треугольника ($n=3$):
$a_3 = 2R \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}$.

Для правильного четырехугольника (квадрата, $n=4$):
$a_4 = 2R \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2R \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = R\sqrt{2}$.

По условию задачи, сторона правильного треугольника на 4 см больше стороны правильного четырехугольника:
$a_3 = a_4 + 4$.

Подставим выражения для $a_3$ и $a_4$ через $R$ в данное уравнение:
$R\sqrt{3} = R\sqrt{2} + 4$.

Перенесем слагаемые с $R$ в левую часть и вынесем $R$ за скобки:
$R\sqrt{3} - R\sqrt{2} = 4$
$R(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 4$.

Выразим $R$:
$R = \frac{4}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$.

Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3} + \sqrt{2})$:
$R = \frac{4(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})}$.
Используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:
$R = \frac{4(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{4(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{3 - 2} = \frac{4(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{1} = 4(\sqrt{3} + \sqrt{2})$ см.

Площадь круга вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi R^2$.
Подставим найденное значение $R$:
$S_{круга} = \pi (4(\sqrt{3} + \sqrt{2}))^2$.
$S_{круга} = \pi \cdot 16 (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$.
Раскроем квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$S_{круга} = 16\pi ((\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2)$.
$S_{круга} = 16\pi (3 + 2\sqrt{6} + 2)$.
$S_{круга} = 16\pi (5 + 2\sqrt{6})$.

Ответ:

Площадь круга равна $16\pi (5 + 2\sqrt{6})$ см$^2$.