Номер 373, страница 167 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

373. а) Как можно разделить круг на три сектора, имеющих равные площади?

б) Окружность разделена двумя точками на две дуги, длины которых относятся как $5:7$. Найдите отношение площадей секторов, которые получатся, если к этим точкам провести радиусы окружности.

a) Как можно разделить круг на три сектора, имеющих равные площади?

Для того чтобы разделить круг на три сектора, имеющих равные площади, необходимо, чтобы центральные углы этих секторов были равны. Полный круг соответствует центральному углу в $360^\circ$. Если круг делится на три равные части, то каждый сектор будет иметь центральный угол, равный $\frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$. Следовательно, для разделения круга на три сектора с равными площадями нужно провести три радиуса таким образом, чтобы углы между каждыми двумя соседними радиусами составляли $120^\circ$.

Ответ:

Провести три радиуса из центра окружности таким образом, чтобы углы между соседними радиусами были равны $120^\circ$.

б) Окружность разделена двумя точками на две дуги, длины которых относятся как 5 : 7. Найдите отношение площадей секторов, которые получатся, если к этим точкам провести радиусы окружности.

Дано:

Отношение длин двух дуг окружности: $L_1 : L_2 = 5 : 7$.

Перевод данных в систему СИ:
Не требуется, так как задача оперирует безразмерными отношениями и углами в градусах.

Найти:

Отношение площадей соответствующих секторов: $S_1 : S_2$.

Решение:

Площадь сектора круга $S$ с радиусом $R$ и центральным углом $\alpha$ (в градусах) определяется формулой: $S = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi R^2$.

Длина дуги окружности $L$ с радиусом $R$ и центральным углом $\alpha$ (в градусах) определяется формулой: $L = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi R$.

Из этих формул следует, что площадь сектора и длина дуги прямо пропорциональны центральному углу, который их образует, при фиксированном радиусе $R$. То есть, $S \propto \alpha$ и $L \propto \alpha$.

Следовательно, отношение площадей двух секторов равно отношению их центральных углов: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{\alpha_1}{\alpha_2}$.

А отношение центральных углов равно отношению длин соответствующих дуг: $\frac{\alpha_1}{\alpha_2} = \frac{L_1}{L_2}$.

По условию задачи, отношение длин дуг равно $5:7$, то есть $\frac{L_1}{L_2} = \frac{5}{7}$.

Таким образом, отношение площадей секторов будет: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{5}{7}$.

Ответ:

Отношение площадей секторов равно $5:7$.