Номер 371, страница 167 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

371. Две трубы диаметрами 6 дм и 8 дм требуется заменить одной трубой с той же пропускной способностью. Найдите диаметр такой трубы.

Дано:

Диаметр первой трубы $D_1 = 6$ дм

Диаметр второй трубы $D_2 = 8$ дм

Пропускная способность новой трубы равна сумме пропускных способностей двух старых труб.

Перевод в СИ:

$D_1 = 6 \text{ дм} = 6 \times 0.1 \text{ м} = 0.6 \text{ м}$

$D_2 = 8 \text{ дм} = 8 \times 0.1 \text{ м} = 0.8 \text{ м}$

Найти:

Диаметр новой трубы $D_3$

Решение

Предполагаем, что пропускная способность трубы пропорциональна площади ее поперечного сечения при постоянной скорости потока жидкости. Это означает, что суммарная площадь поперечных сечений двух исходных труб должна быть равна площади поперечного сечения новой трубы.

Площадь поперечного сечения трубы $A$ выражается формулой:

$A = \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 = \frac{\pi D^2}{4}$

где $D$ - диаметр трубы.

Суммарная пропускная способность двух старых труб должна быть равна пропускной способности новой трубы. Следовательно, сумма площадей поперечных сечений двух исходных труб должна быть равна площади поперечного сечения новой трубы:

$A_1 + A_2 = A_3$

Подставляем формулу для площади:

$\frac{\pi D_1^2}{4} + \frac{\pi D_2^2}{4} = \frac{\pi D_3^2}{4}$

Разделим обе части уравнения на $\frac{\pi}{4}$:

$D_1^2 + D_2^2 = D_3^2$

Выражаем $D_3$:

$D_3 = \sqrt{D_1^2 + D_2^2}$

Подставляем числовые значения $D_1$ и $D_2$ в метрах из системы СИ:

$D_3 = \sqrt{(0.6 \text{ м})^2 + (0.8 \text{ м})^2}$

$D_3 = \sqrt{0.36 \text{ м}^2 + 0.64 \text{ м}^2}$

$D_3 = \sqrt{1.00 \text{ м}^2}$

$D_3 = 1.0 \text{ м}$

Ответ:

Диаметр новой трубы равен $1.0$ м (или $10$ дм).