Номер 370, страница 167 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

3. раз, б) уменьшить в N раз.

370. Даны две концентрические окружности. Некоторая хорда окружности большего радиуса касается другой окружности и имеет длину 6 см. Найдите площадь кольца, ограниченного этими окружностями.

Дано:

Длина хорды большей окружности, касающейся меньшей окружности: $L = 6$ см.

Перевод в СИ:

$L = 6$ см $ = 0.06$ м.

Найти:

Площадь кольца, $S_{кольца}$.

Решение:

Пусть $R$ — радиус большей окружности, а $r$ — радиус меньшей окружности. Обе окружности концентрические, то есть имеют общий центр.

Площадь кольца (аннулуса), ограниченного этими двумя окружностями, находится как разность площадей большей и меньшей окружностей:

$S_{кольца} = S_{большей} - S_{меньшей} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2)$.

Хорда большей окружности, которая касается меньшей окружности, является касательной к меньшей окружности. Радиус, проведенный из центра к точке касания касательной, перпендикулярен касательной.

Пусть O — общий центр окружностей, A и B — концы хорды на большей окружности, а C — точка касания хорды с меньшей окружностью. Тогда OC является радиусом меньшей окружности ($r$), и OC перпендикулярно хорде AB. Также, радиус, перпендикулярный хорде, делит ее пополам, поэтому $AC = CB = L/2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OCB (или OAC). Гипотенузой этого треугольника является радиус большей окружности OB ($R$), а катетами — радиус меньшей окружности OC ($r$) и половина хорды CB ($L/2$).

Применяем теорему Пифагора к треугольнику OCB:

$OB^2 = OC^2 + CB^2$

$R^2 = r^2 + (L/2)^2$

Из этого уравнения выразим разность квадратов радиусов:

$R^2 - r^2 = (L/2)^2$

Теперь подставим это выражение в формулу для площади кольца:

$S_{кольца} = \pi (R^2 - r^2) = \pi (L/2)^2$.

По условию задачи, длина хорды $L = 6$ см.

Вычислим половину длины хорды:

$L/2 = 6 \text{ см} / 2 = 3 \text{ см}$.

Теперь подставим это значение в формулу для площади кольца:

$S_{кольца} = \pi (3 \text{ см})^2 = 9\pi \text{ см}^2$.

Ответ:

Площадь кольца составляет $9\pi \text{ см}^2$.