Вопросы, страница 167 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ

1. Выведите формулу площади круга радиуса $R$.

2. Выведите формулу площади кругового сектора.

1. Выведите формулу площади круга радиуса R.

Решение

Площадь круга с радиусом $R$ может быть выведена с помощью интегрального исчисления. Рассмотрим круг в полярных координатах. Элемент площади $dA$ в полярных координатах выражается как $r dr d\theta$.

Для нахождения общей площади круга мы интегрируем этот элемент площади по всему кругу. Радиус $r$ изменяется от $0$ до $R$, а угол $\theta$ изменяется от $0$ до $2\pi$ радиан (полный оборот).

Площадь $S$ задается двойным интегралом:

$S = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} r \,dr \,d\theta$

Сначала проинтегрируем по $r$:

$\int_{0}^{R} r \,dr = \left[ \frac{1}{2}r^2 \right]_{0}^{R} = \frac{1}{2}R^2 - \frac{1}{2}(0)^2 = \frac{1}{2}R^2$

Затем проинтегрируем результат по $\theta$:

$S = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2}R^2 \,d\theta = \frac{1}{2}R^2 \int_{0}^{2\pi} \,d\theta = \frac{1}{2}R^2 [\theta]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{2}R^2 (2\pi - 0) = \pi R^2$

Ответ: $S = \pi R^2$

2. Выведите формулу площади кругового сектора.

Решение

Круговой сектор представляет собой часть круга, ограниченную двумя радиусами и дугой между ними. Его площадь пропорциональна центральному углу, который он образует.

Площадь всего круга с радиусом $R$ составляет $S_{круг} = \pi R^2$. Полный круг соответствует центральному углу $2\pi$ радиан (или $360^\circ$).

Пусть центральный угол сектора равен $\alpha$. Если угол $\alpha$ выражен в радианах, то отношение площади сектора к площади всего круга равно отношению центрального угла сектора к углу всего круга ($2\pi$ радиан):

$\frac{S_{сектор}}{S_{круг}} = \frac{\alpha}{2\pi}$

Подставим формулу площади круга:

$\frac{S_{сектор}}{\pi R^2} = \frac{\alpha}{2\pi}$

Выразим площадь сектора $S_{сектор}$:

$S_{сектор} = \frac{\alpha}{2\pi} \cdot \pi R^2 = \frac{1}{2} \alpha R^2$

Если центральный угол $\alpha^\circ$ задан в градусах, то его можно перевести в радианы по формуле $\alpha_{рад} = \alpha^\circ \frac{\pi}{180^\circ}$. Тогда площадь сектора будет:

$S_{сектор} = \frac{1}{2} \left(\alpha^\circ \frac{\pi}{180^\circ}\right) R^2 = \frac{\alpha^\circ \pi R^2}{360^\circ}$

Ответ: $S_{сектор} = \frac{1}{2} \alpha R^2$ (где $\alpha$ - центральный угол в радианах) или $S_{сектор} = \frac{\alpha^\circ \pi R^2}{360^\circ}$ (где $\alpha^\circ$ - центральный угол в градусах)