Номер 362, страница 162 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

362. Найдите градусную и радианную меру углов:

а) прямоугольного треугольника, острые углы которого относятся как 3 : 2;

б) равнобедренного треугольника, два угла которого относятся как 1 : 2;

в) равнобедренной трапеции, два угла которой относятся как 5 : 4.

a) прямоугольного треугольника, острые углы которого относятся как 3 : 2;

Дано

Прямоугольный треугольник.

Один угол равен $90^\circ$.

Острые углы относятся как $3:2$.

Найти: градусную и радианную меру углов.

Решение

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Пусть острые углы будут $3x$ и $2x$.

Тогда $3x + 2x = 90^\circ$.

$5x = 90^\circ$.

$x = \frac{90^\circ}{5} = 18^\circ$.

Острые углы:

Первый острый угол: $3x = 3 \cdot 18^\circ = 54^\circ$.

Второй острый угол: $2x = 2 \cdot 18^\circ = 36^\circ$.

Прямой угол: $90^\circ$.

Переведем углы в радианы:

$36^\circ = 36 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{36\pi}{180} = \frac{\pi}{5}$ радиан.

$54^\circ = 54 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{54\pi}{180} = \frac{3\pi}{10}$ радиан.

$90^\circ = 90 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{90\pi}{180} = \frac{\pi}{2}$ радиан.

Ответ:

Градусная мера: $36^\circ$, $54^\circ$, $90^\circ$.

Радианная мера: $\frac{\pi}{5}$, $\frac{3\pi}{10}$, $\frac{\pi}{2}$.

б) равнобедренного треугольника, два угла которого относятся как 1 : 2;

Дано

Равнобедренный треугольник.

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.

Два угла относятся как $1:2$.

Найти: градусную и радианную меру углов.

Решение

В равнобедренном треугольнике два угла при основании равны. Возможны два случая для соотношения углов $1:2$:

Случай 1: Углы при основании равны, и каждый из них относится к углу при вершине как $1:2$.

Пусть углы при основании будут $x$, а угол при вершине $2x$.

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$:

$x + x + 2x = 180^\circ$.

$4x = 180^\circ$.

$x = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ$.

Углы: $45^\circ$, $45^\circ$, $2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$.

Проверка соотношения: $45^\circ : 90^\circ = 1:2$.

Переведем углы в радианы:

$45^\circ = 45 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{4}$ радиан.

$90^\circ = 90 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{2}$ радиан.

Случай 2: Угол при вершине относится к каждому из углов при основании как $1:2$.

Пусть угол при вершине будет $x$, а углы при основании $2x$.

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$:

$x + 2x + 2x = 180^\circ$.

$5x = 180^\circ$.

$x = \frac{180^\circ}{5} = 36^\circ$.

Углы: $36^\circ$, $2 \cdot 36^\circ = 72^\circ$, $2 \cdot 36^\circ = 72^\circ$.

Проверка соотношения: $36^\circ : 72^\circ = 1:2$.

Переведем углы в радианы:

$36^\circ = 36 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{5}$ радиан.

$72^\circ = 72 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{5}$ радиан.

Ответ:

Существуют два возможных набора углов:

Набор 1:

Градусная мера: $45^\circ$, $45^\circ$, $90^\circ$.

Радианная мера: $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{2}$.

Набор 2:

Градусная мера: $36^\circ$, $72^\circ$, $72^\circ$.

Радианная мера: $\frac{\pi}{5}$, $\frac{2\pi}{5}$, $\frac{2\pi}{5}$.

в) равнобедренной трапеции, два угла которой относятся как 5 : 4.

Дано

Равнобедренная трапеция.

Углы при каждом основании равны.

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$.

Два угла относятся как $5:4$.

Найти: градусную и радианную меру углов.

Решение

В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, и углы при другом основании равны.

Пусть углы при большем основании будут $\alpha$, а углы при меньшем основании $\beta$.

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta = 180^\circ$.

Углы, которые могут относиться как $5:4$, это углы при разных основаниях, так как углы при одном основании равны.

Пусть один угол равен $5x$, а другой $4x$.

Их сумма равна $180^\circ$:

$5x + 4x = 180^\circ$.

$9x = 180^\circ$.

$x = \frac{180^\circ}{9} = 20^\circ$.

Тогда один набор равных углов (при одном основании) равен $4x = 4 \cdot 20^\circ = 80^\circ$.

Второй набор равных углов (при другом основании) равен $5x = 5 \cdot 20^\circ = 100^\circ$.

Углы трапеции: $80^\circ$, $80^\circ$, $100^\circ$, $100^\circ$.

Проверка соотношения: $100^\circ : 80^\circ = 10:8 = 5:4$.

Проверка суммы смежных углов: $80^\circ + 100^\circ = 180^\circ$.

Переведем углы в радианы:

$80^\circ = 80 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{8\pi}{18} = \frac{4\pi}{9}$ радиан.

$100^\circ = 100 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{10\pi}{18} = \frac{5\pi}{9}$ радиан.

Ответ:

Градусная мера: $80^\circ$, $80^\circ$, $100^\circ$, $100^\circ$.

Радианная мера: $\frac{4\pi}{9}$, $\frac{4\pi}{9}$, $\frac{5\pi}{9}$, $\frac{5\pi}{9}$.