Номер 359, страница 162 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

при большем основании.

359. Найдите длину окружности:

а) вписанной в прямоугольный треугольник, катеты которого равны 12 см и 9 см;

б) описанной около прямоугольного треугольника, периметр которого равен 28 см, а площадь $48 \text{ см}^2$.

Дано:

а) Прямоугольный треугольник, катеты $a = 12 \text{ см}$, $b = 9 \text{ см}$.

б) Прямоугольный треугольник, периметр $P = 28 \text{ см}$, площадь $S = 48 \text{ см}^2$.

Перевод в СИ:

а) $a = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$, $b = 9 \text{ см} = 0.09 \text{ м}$.

б) $P = 28 \text{ см} = 0.28 \text{ м}$, $S = 48 \text{ см}^2 = 0.0048 \text{ м}^2$.

Найти:

а) Длину окружности $C_a$ вписанной в треугольник.

б) Длину окружности $C_b$ описанной около треугольника.

Решение

а) вписанной в прямоугольный треугольник, катеты которого равны 12 см и 9 см;

Для нахождения длины окружности $C_a$ вписанной окружности, необходимо знать ее радиус $r$.

1. Найдем гипотенузу $c$ прямоугольного треугольника, используя теорему Пифагора:

$c^2 = a^2 + b^2$
$c^2 = (12 \text{ см})^2 + (9 \text{ см})^2$
$c^2 = 144 \text{ см}^2 + 81 \text{ см}^2$
$c^2 = 225 \text{ см}^2$
$c = \sqrt{225 \text{ см}^2} = 15 \text{ см}$

2. Найдем радиус $r$ вписанной окружности в прямоугольный треугольник по формуле:

$r = \frac{a + b - c}{2}$
$r = \frac{12 \text{ см} + 9 \text{ см} - 15 \text{ см}}{2}$
$r = \frac{21 \text{ см} - 15 \text{ см}}{2}$
$r = \frac{6 \text{ см}}{2} = 3 \text{ см}$

3. Вычислим длину окружности $C_a$ по формуле $C = 2\pi r$:

$C_a = 2\pi (3 \text{ см})$
$C_a = 6\pi \text{ см}$

Ответ: $6\pi \text{ см}$

б) описанной около прямоугольного треугольника, периметр которого равен 28 см, а площадь 48 см².

Для нахождения длины окружности $C_b$ описанной окружности, необходимо знать ее радиус $R$. Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.

1. Пусть катеты треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза $c$.

Из условия даны периметр $P$ и площадь $S$:

$P = a + b + c = 28 \text{ см}$
$S = \frac{1}{2}ab = 48 \text{ см}^2 \Rightarrow ab = 96 \text{ см}^2$

2. Используем теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$. Также известно, что $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$.

Из выражения для периметра найдем $a+b$:

$a+b = P - c = 28 - c$

Подставим $a+b$ и $ab$ в формулу $(a+b)^2$:

$(28 - c)^2 = c^2 + 2(96)$
$784 - 56c + c^2 = c^2 + 192$

Вычтем $c^2$ из обеих частей уравнения:

$784 - 56c = 192$
$56c = 784 - 192$
$56c = 592$
$c = \frac{592}{56}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 8:

$c = \frac{74}{7} \text{ см}$

3. Найдем радиус $R$ описанной окружности. Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности равен половине гипотенузы:

$R = \frac{c}{2}$
$R = \frac{74/7 \text{ см}}{2} = \frac{74}{14} \text{ см} = \frac{37}{7} \text{ см}$

4. Вычислим длину окружности $C_b$ по формуле $C = 2\pi R$:

$C_b = 2\pi \left(\frac{37}{7} \text{ см}\right)$
$C_b = \frac{74\pi}{7} \text{ см}$

Ответ: $\frac{74\pi}{7} \text{ см}$