Номер 360, страница 162 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

360. Около окружности описана равнобедренная трапеция, периметр которой в два раза больше длины окружности. Найдите углы трапеции.

Дано:

Равнобедренная трапеция описана около окружности.

Периметр трапеции $P_{трапеции}$ в два раза больше длины окружности $L_{окружности}$.

То есть, $P_{трапеции} = 2L_{окружности}$.

Перевод в СИ:

Не требуется, так как задача касается геометрических соотношений и углов, а не конкретных физических величин с единицами измерения.

Найти:

Углы трапеции.

Решение:

Пусть основания равнобедренной трапеции будут $a$ и $b$, а боковые стороны — $c$. Поскольку трапеция равнобедренная, обе боковые стороны равны между собой.

Для четырехугольника, который описан около окружности, сумма длин противоположных сторон равна. В нашем случае для трапеции это означает:

$a + b = c + c = 2c$

Периметр трапеции $P_{трапеции}$ равен сумме всех ее сторон:

$P_{трапеции} = a + b + c + c$

Подставим $a + b = 2c$ в выражение для периметра:

$P_{трапеции} = 2c + 2c = 4c$

Пусть $D$ — диаметр вписанной окружности. Длина окружности $L_{окружности}$ вычисляется по формуле:

$L_{окружности} = \pi D$

Согласно условию задачи, периметр трапеции в два раза больше длины окружности:

$P_{трапеции} = 2L_{окружности}$

Подставим полученные выражения для $P_{трапеции}$ и $L_{окружности}$:

$4c = 2(\pi D)$

Сократим обе части уравнения на 2:

$2c = \pi D$

Известно, что высота $h$ трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности:

$h = D$

Подставим $D = h$ в уравнение $2c = \pi D$:

$2c = \pi h$

Выразим высоту $h$ через боковую сторону $c$:

$h = \frac{2c}{\pi}$

Теперь рассмотрим один из углов при основании трапеции, например, угол $\alpha$. Если опустить высоту из вершины верхнего основания на нижнее, образуется прямоугольный треугольник. В этом треугольнике боковая сторона $c$ является гипотенузой, а высота $h$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$.

Синус угла $\alpha$ определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin \alpha = \frac{h}{c}$

Подставим ранее найденное выражение для $h$:

$\sin \alpha = \frac{2c/\pi}{c}$

Сократим $c$:

$\sin \alpha = \frac{2}{\pi}$

Следовательно, угол при основании трапеции равен $\alpha = \arcsin(\frac{2}{\pi})$.

Так как трапеция равнобедренная, углы при одном основании равны между собой. Пусть это будут углы $\angle A$ и $\angle D$. Тогда $\angle A = \angle D = \alpha = \arcsin(\frac{2}{\pi})$.

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Пусть $\beta$ — угол при другом основании. Тогда $\alpha + \beta = 180^\circ$.

Отсюда, $\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - \arcsin(\frac{2}{\pi})$.

Таким образом, углы $\angle B = \angle C = 180^\circ - \arcsin(\frac{2}{\pi})$.

Ответ:

Углы трапеции равны $\arcsin(\frac{2}{\pi})$ и $180^\circ - \arcsin(\frac{2}{\pi})$.