Номер 356, страница 162 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

356.

а) Окружность длиной $6 \text{ см}$ развернули в дугу окружности радиусом $5 \text{ см}$. Найдите градусную меру этой дуги.

б) Дуга радиусом $4 \text{ см}$ и градусной мерой $120^\circ$ равна длине некоторой окружности. Найдите радиус этой окружности.

а) Окружность длиной 6 см развернули в дугу окружности радиусом 5 см. Найдите градусную меру этой дуги.

Дано:

Длина дуги $L_{\text{дуги}} = 6 \text{ см}$

Радиус окружности, на которой лежит дуга $R = 5 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$L_{\text{дуги}} = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$R = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Градусная мера дуги $\alpha$

Решение:

Длина дуги окружности может быть найдена по формуле: $L_{\text{дуги}} = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$, где $\alpha$ - градусная мера дуги.

Из этой формулы выразим $\alpha$:

$\alpha = \frac{L_{\text{дуги}} \cdot 180^\circ}{\pi R}$

Подставим известные значения:

$\alpha = \frac{6 \text{ см} \cdot 180^\circ}{\pi \cdot 5 \text{ см}}$

$\alpha = \frac{1080^\circ}{5\pi}$

$\alpha = \frac{216^\circ}{\pi}$

Ответ: $\alpha = \frac{216}{\pi}^\circ$

б) Дуга радиусом 4 см и градусной мерой 120° равна длине некоторой окружности. Найдите радиус этой окружности.

Дано:

Радиус дуги $R_{\text{дуги}} = 4 \text{ см}$

Градусная мера дуги $\alpha = 120^\circ$

Длина дуги $L_{\text{дуги}}$ равна длине окружности $C_{\text{окр}}$

Перевод в СИ:

$R_{\text{дуги}} = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

$\alpha = 120^\circ$

Найти:

Радиус окружности $R_{\text{окр}}$

Решение:

Сначала найдем длину дуги по формуле: $L_{\text{дуги}} = \frac{\pi R_{\text{дуги}} \alpha}{180^\circ}$

Подставим известные значения:

$L_{\text{дуги}} = \frac{\pi \cdot 4 \text{ см} \cdot 120^\circ}{180^\circ}$

$L_{\text{дуги}} = \frac{480\pi}{180} \text{ см}$

$L_{\text{дуги}} = \frac{8\pi}{3} \text{ см}$

По условию задачи, длина этой дуги равна длине некоторой окружности. Длина окружности вычисляется по формуле $C_{\text{окр}} = 2\pi R_{\text{окр}}$.

Приравниваем эти две величины:

$L_{\text{дуги}} = C_{\text{окр}}$

$\frac{8\pi}{3} = 2\pi R_{\text{окр}}$

Теперь выразим $R_{\text{окр}}$:

$R_{\text{окр}} = \frac{8\pi}{3 \cdot 2\pi}$

$R_{\text{окр}} = \frac{8}{6}$

$R_{\text{окр}} = \frac{4}{3} \text{ см}$

Ответ: $R_{\text{окр}} = \frac{4}{3} \text{ см}$