Номер 351, страница 161 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

351. a) Радиус окружности увеличили на 5 см. На сколько сантиметров увеличилась длина окружности?
б) Радиус окружности, равный 4 дм, увеличили на 3 дм. На сколько процентов увеличилась длина окружности?

a)

Дано:

Увеличение радиуса: $\Delta r = 5$ см

Перевод в СИ:

$\Delta r = 5$ см $= 0.05$ м

Найти:

Увеличение длины окружности: $\Delta L$

Решение:

Формула для длины окружности: $L = 2\pi r$.

Пусть начальный радиус окружности равен $r_1$. Тогда начальная длина окружности $L_1 = 2\pi r_1$.

Радиус увеличили на $5$ см, поэтому новый радиус $r_2 = r_1 + 5$.

Новая длина окружности $L_2 = 2\pi r_2 = 2\pi (r_1 + 5)$.

Чтобы найти, на сколько увеличилась длина окружности, вычтем из новой длины начальную длину:

$\Delta L = L_2 - L_1$

$\Delta L = 2\pi (r_1 + 5) - 2\pi r_1$

Раскроем скобки:

$\Delta L = 2\pi r_1 + 2\pi \cdot 5 - 2\pi r_1$

Члены $2\pi r_1$ и $-2\pi r_1$ взаимно уничтожаются:

$\Delta L = 10\pi$ см

Ответ: $10\pi$ см

б)

Дано:

Начальный радиус: $r_1 = 4$ дм

Увеличение радиуса: $\Delta r = 3$ дм

Перевод в СИ:

$r_1 = 4$ дм $= 0.4$ м

$\Delta r = 3$ дм $= 0.3$ м

Найти:

Процентное увеличение длины окружности: $P_{\%}$

Решение:

Формула для длины окружности: $L = 2\pi r$.

Вычислим начальную длину окружности $L_1$:

$L_1 = 2\pi r_1 = 2\pi \cdot 4 = 8\pi$ дм.

Найдем новый радиус $r_2$ после увеличения:

$r_2 = r_1 + \Delta r = 4 + 3 = 7$ дм.

Вычислим новую длину окружности $L_2$:

$L_2 = 2\pi r_2 = 2\pi \cdot 7 = 14\pi$ дм.

Найдем абсолютное увеличение длины окружности $\Delta L$:

$\Delta L = L_2 - L_1 = 14\pi - 8\pi = 6\pi$ дм.

Чтобы найти, на сколько процентов увеличилась длина окружности, используем формулу процентного изменения:

$P_{\%} = \left(\frac{\text{изменение}}{\text{начальное значение}}\right) \cdot 100\%$

$P_{\%} = \left(\frac{\Delta L}{L_1}\right) \cdot 100\%$

Подставим значения:

$P_{\%} = \left(\frac{6\pi}{8\pi}\right) \cdot 100\%$

Сократим $\pi$:

$P_{\%} = \left(\frac{6}{8}\right) \cdot 100\%$

$P_{\%} = \left(\frac{3}{4}\right) \cdot 100\%$

$P_{\%} = 0.75 \cdot 100\%$

$P_{\%} = 75\%$

Ответ: $75\%$