Номер 349, страница 158 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

349.
a) Какую часть площади правильного шестиугольника составляет площадь многоугольника, вершинами которого являются середины сторон данного шестиугольника?
б) Правильный шестиугольник разрежьте на семь частей так, чтобы из них можно было составить два правильных шестиугольника, площади которых относятся как $3 : 1$.

a) Какую часть площади правильного шестиугольника составляет площадь многоугольника, вершинами которого являются середины сторон данного шестиугольника?

Дано:
Правильный шестиугольник $H_1$ со стороной $a$.
Многоугольник $H_2$, вершинами которого являются середины сторон $H_1$.

Найти:
Отношение площади $H_2$ к площади $H_1$, то есть $\frac{S_2}{S_1}$.

Решение:
Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $S = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$.
Пусть сторона исходного правильного шестиугольника $H_1$ равна $a$. Тогда его площадь: $S_1 = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$.
Многоугольник $H_2$, вершинами которого являются середины сторон $H_1$, также является правильным шестиугольником.
Рассмотрим исходный шестиугольник, разделенный на 6 равных правильных треугольников, сходящихся в центре. Сторона каждого такого треугольника равна $a$. Высота такого треугольника, проведенная к стороне $a$ (апофема шестиугольника), равна $h = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Вершины нового шестиугольника $H_2$ - это середины сторон $H_1$. Расстояние от центра исходного шестиугольника до середины любой его стороны равно апофеме $h$. Таким образом, сторона нового шестиугольника $H_2$ равна $a' = h = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Теперь найдем площадь $H_2$: $S_2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}(a')^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}\left(a\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}\left(a^2\frac{3}{4}\right) = \frac{9\sqrt{3}}{8}a^2$.
Найдем отношение площадей $\frac{S_2}{S_1}$: $\frac{S_2}{S_1} = \frac{\frac{9\sqrt{3}}{8}a^2}{\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2} = \frac{9/8}{3/2} = \frac{9}{8} \cdot \frac{2}{3} = \frac{3}{4}$.
Альтернативное решение (через вычитание угловых треугольников):
Исходный шестиугольник $H_1$ (сторона $a$) можно представить как внутренний шестиугольник $H_2$ (сторона $a'$) и 6 угловых треугольников.
Каждый угловой треугольник имеет две стороны длиной $a/2$ (половины сторон исходного шестиугольника) и угол $120^\circ$ между ними (угол правильного шестиугольника).
Площадь одного такого углового треугольника: $S_{тр} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{16}a^2$.
Суммарная площадь 6 угловых треугольников: $6 \cdot S_{тр} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{16}a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{8}a^2$.
Площадь $H_2$ равна площади $H_1$ минус суммарная площадь 6 угловых треугольников: $S_2 = S_1 - 6 S_{тр} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 - \frac{3\sqrt{3}}{8}a^2 = \left(\frac{12\sqrt{3}}{8} - \frac{3\sqrt{3}}{8}\right)a^2 = \frac{9\sqrt{3}}{8}a^2$.
Отношение площадей: $\frac{S_2}{S_1} = \frac{\frac{9\sqrt{3}}{8}a^2}{\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $3/4$.

б) Правильный шестиугольник разрежьте на семь частей так, чтобы из них можно было составить два правильных шестиугольника, площади которых относятся как 3 : 1.

Дано:
Правильный шестиугольник $H$ площадью $S_H$.
Требуется разрезать $H$ на 7 частей, из которых можно составить два правильных шестиугольника $H_A$ и $H_B$ так, что $S_A : S_B = 3 : 1$.

Найти:
Описание разрезания и сборки.

Решение:
Пусть площадь исходного шестиугольника $H$ равна $S_H$.
Если площади двух новых шестиугольников $H_A$ и $H_B$ относятся как $3:1$, то $S_A = 3k$ и $S_B = k$.
Так как эти два шестиугольника составлены из частей исходного, их суммарная площадь должна быть равна площади исходного шестиугольника (при условии, что части плоские и не перекрываются): $S_A + S_B = S_H$ $3k + k = S_H \implies 4k = S_H \implies k = \frac{1}{4}S_H$.
Следовательно, площади двух новых шестиугольников: $S_A = \frac{3}{4}S_H$ $S_B = \frac{1}{4}S_H$.
Пусть $L$ - сторона исходного шестиугольника $H$. Тогда $S_H = \frac{3\sqrt{3}}{2}L^2$.
Найдем стороны $s_A$ и $s_B$ новых шестиугольников. Для $H_A$: $\frac{3\sqrt{3}}{2}s_A^2 = \frac{3}{4} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}L^2 \implies s_A^2 = \frac{3}{4}L^2 \implies s_A = L\frac{\sqrt{3}}{2}$. Для $H_B$: $\frac{3\sqrt{3}}{2}s_B^2 = \frac{1}{4} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}L^2 \implies s_B^2 = \frac{1}{4}L^2 \implies s_B = \frac{1}{2}L$.
Таким образом, нам нужно разрезать исходный шестиугольник (сторона $L$) на 7 частей, из которых можно составить шестиугольник со стороной $L\frac{\sqrt{3}}{2}$ и шестиугольник со стороной $L/2$.
Описанный в части (а) способ разрезания правильного шестиугольника на внутренний шестиугольник и 6 угловых треугольников идеально подходит:
Описание разрезания:
1. Начертите правильный шестиугольник. 2. Найдите середины всех его шести сторон. 3. Соедините последовательно эти середины. Получившийся внутренний шестиугольник будет первой частью. Этот внутренний шестиугольник имеет сторону $L\frac{\sqrt{3}}{2}$ и площадь $\frac{3}{4}S_H$, что соответствует большему из искомых шестиугольников ($H_A$). 4. Оставшиеся 6 частей — это угловые треугольники. Каждый такой треугольник является равнобедренным с углом $120^\circ$ между равными сторонами. Длина этих равных сторон равна $L/2$. Длина третьей стороны (основания) равна $L\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Таким образом, мы получили 7 частей: 1 центральный шестиугольник ($H_A$) и 6 одинаковых угловых треугольников.
Описание сборки:
1. Центральный шестиугольник, полученный в результате разрезания, уже является одним из искомых шестиугольников ($H_A$). 2. Для построения второго, меньшего шестиугольника ($H_B$) используйте 6 угловых треугольников. Площадь каждого такого треугольника составляет $\frac{\sqrt{3}}{16}L^2$, а суммарная площадь 6 таких треугольников равна $\frac{3\sqrt{3}}{8}L^2$, что соответствует площади $H_B$. 3. Каждый угловой треугольник имеет две стороны длиной $L/2$ и одну сторону длиной $L\frac{\sqrt{3}}{2}$. Углы треугольника $30^\circ, 30^\circ, 120^\circ$. 4. Возьмите два угловых треугольника. Соедините их по их самой длинной стороне ($L\frac{\sqrt{3}}{2}$). В результате получится ромб с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ и сторонами $L/2$. 5. Повторите этот шаг для оставшихся четырех треугольников, чтобы получить еще два таких ромба. В итоге у вас будет 3 одинаковых ромба. 6. Из этих трех ромбов можно составить правильный шестиугольник. Для этого поместите ромбы вокруг центральной точки так, чтобы их острые углы ($60^\circ$) сошлись в центре. Стороны ромбов длиной $L/2$ образуют внешний периметр шестиугольника. Этот составленный шестиугольник будет меньшим из искомых ($H_B$), со стороной $L/2$.

Ответ: Разрезание производится путем соединения середин соседних сторон исходного шестиугольника. Центральный шестиугольник является большим из двух искомых. Шесть угловых треугольников попарно соединяются по своим длинным сторонам, образуя три ромба, из которых составляется меньший шестиугольник.