Номер 345, страница 158 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

345. a) Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, равна 8 см. Найдите периметр квадрата, вписанного в эту окружность.

б) Периметр квадрата, вписанного в окружность, равен 18 см. Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в эту окружность.

а)

Дано:

сторона правильного треугольника $a_3 = 8$ см

Перевод в СИ:

$a_3 = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

периметр квадрата $P_4$

Решение:

Пусть $R$ — радиус окружности, в которую вписаны правильный треугольник и квадрат.

Для правильного треугольника, вписанного в окружность, связь между его стороной $a_3$ и радиусом $R$ выражается формулой:

$a_3 = R\sqrt{3}$

Из этой формулы найдем радиус окружности:

$R = \frac{a_3}{\sqrt{3}}$

Подставляем значение $a_3 = 8$ см:

$R = \frac{8}{\sqrt{3}}$ см

Для квадрата, вписанного в окружность, связь между его стороной $a_4$ и радиусом $R$ выражается формулой:

$a_4 = R\sqrt{2}$

Подставляем найденное значение $R$:

$a_4 = \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

$a_4 = \frac{8\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{6}}{3}$ см

Периметр квадрата $P_4$ вычисляется по формуле:

$P_4 = 4a_4$

Подставляем значение $a_4$:

$P_4 = 4 \cdot \frac{8\sqrt{6}}{3} = \frac{32\sqrt{6}}{3}$ см

Ответ: $\frac{32\sqrt{6}}{3}$ см

б)

Дано:

периметр квадрата $P_4 = 18$ см

Перевод в СИ:

$P_4 = 18 \text{ см} = 0.18 \text{ м}$

Найти:

сторона правильного треугольника $a_3$

Решение:

Пусть $R$ — радиус окружности, в которую вписаны квадрат и правильный треугольник.

Периметр квадрата $P_4$ выражается через его сторону $a_4$ по формуле:

$P_4 = 4a_4$

Из этой формулы найдем сторону квадрата:

$a_4 = \frac{P_4}{4}$

Подставляем значение $P_4 = 18$ см:

$a_4 = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} = 4.5$ см

Для квадрата, вписанного в окружность, связь между его стороной $a_4$ и радиусом $R$ выражается формулой:

$a_4 = R\sqrt{2}$

Из этой формулы найдем радиус окружности:

$R = \frac{a_4}{\sqrt{2}}$

Подставляем найденное значение $a_4$:

$R = \frac{9/2}{\sqrt{2}} = \frac{9}{2\sqrt{2}}$

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

$R = \frac{9\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{2}}{4}$ см

Для правильного треугольника, вписанного в окружность, связь между его стороной $a_3$ и радиусом $R$ выражается формулой:

$a_3 = R\sqrt{3}$

Подставляем найденное значение $R$:

$a_3 = \frac{9\sqrt{2}}{4} \cdot \sqrt{3} = \frac{9\sqrt{6}}{4}$ см

Ответ: $\frac{9\sqrt{6}}{4}$ см