Номер 340, страница 153 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

340. Дана меньшая диагональ правильного $n$-угольника. Постройте с помощью циркуля и линейки этот $n$-угольник, если:

а) $n=6$;

б) $n=8$.

a) $n=6$

Дано: Дан отрезок, равный длине меньшей диагонали $d_{\text{min}}$ правильного шестиугольника.

Найти: Построить правильный шестиугольник.

Решение:

Для правильного шестиугольника ($n=6$) сторона $a$ равна радиусу описанной окружности $R$. Меньшая диагональ $d_{\text{min}}$ правильного шестиугольника соединяет вершины через одну, например, $V_1$ и $V_3$. Длина этой диагонали выражается как $d_{\text{min}} = a\sqrt{3}$. Следовательно, сторона шестиугольника $a = \frac{d_{\text{min}}}{\sqrt{3}}$.

Для построения отрезка длиной $a = \frac{d_{\text{min}}}{\sqrt{3}}$ по данному отрезку $d_{\text{min}}$ можно использовать следующую процедуру:

1. Начертите произвольную прямую и отметьте на ней точку A. Отложите от точки A отрезок AB, равный $d_{\text{min}}$.
2. В точке B постройте перпендикуляр BP к отрезку AB. (Для этого из B проведите дугу, пересекающую прямую AB в двух точках. Из этих точек проведите дуги одинакового радиуса большего, чем радиус первой дуги, так, чтобы они пересеклись. Через точку пересечения и точку B проведите прямую. Эта прямая будет перпендикулярна AB.)
3. Из точки A проведите луч AC под углом $30^\circ$ к отрезку AB. (Для построения угла $30^\circ$: постройте равносторонний треугольник ADE со стороной AD, при этом луч AD должен лежать на прямой AB. Угол DAB будет $60^\circ$. Постройте биссектрису угла DAB. Это даст луч, формирующий $30^\circ$ с AB.)
4. Пусть луч AC пересечет прямую BP в точке P. Тогда треугольник ABP является прямоугольным с прямым углом B. Угол $\angle BAP = 30^\circ$.
5. В прямоугольном треугольнике ABP, сторона BP, противолежащая углу $30^\circ$, равна $AB \cdot \tan(30^\circ) = d_{\text{min}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$. Эта длина BP является искомой длиной стороны $a$ правильного шестиугольника (которая также является радиусом описанной окружности $R$).
6. Постройте окружность с центром в произвольной точке O и радиусом, равным отрезку BP (т.е. $R=a$).
7. Отметьте на окружности произвольную точку $V_1$.
8. Используя циркуль, отложите от точки $V_1$ по окружности 5 раз отрезок, равный радиусу $R$ (или стороне $a$). Это даст точки $V_2, V_3, V_4, V_5, V_6$.
9. Соедините последовательно точки $V_1, V_2, ..., V_6$ отрезками. Полученный многоугольник является правильным шестиугольником.

Ответ: Правильный шестиугольник построен.

б) $n=8$

Дано: Дан отрезок, равный длине меньшей диагонали $d_{\text{min}}$ правильного восьмиугольника.

Найти: Построить правильный восьмиугольник.

Решение:

Для правильного восьмиугольника ($n=8$) меньшая диагональ $d_{\text{min}}$ соединяет вершины через одну, например, $V_1$ и $V_3$. Длина этой диагонали выражается как $d_{\text{min}} = 2R \sin(\frac{2\pi}{8}) = 2R \sin(\frac{\pi}{4}) = 2R \frac{\sqrt{2}}{2} = R\sqrt{2}$. Следовательно, радиус описанной окружности $R = \frac{d_{\text{min}}}{\sqrt{2}}$.

Для построения отрезка длиной $R = \frac{d_{\text{min}}}{\sqrt{2}}$ по данному отрезку $d_{\text{min}}$ можно использовать следующую процедуру, основанную на построении равнобедренного прямоугольного треугольника:

1. Начертите произвольную прямую и отметьте на ней точку A. Отложите от точки A отрезок AB, равный $d_{\text{min}}$.
2. Найдите середину отрезка AB. (Для этого из A и B проведите дуги одинакового радиуса больше половины AB, так чтобы они пересеклись с двух сторон от AB. Соедините точки пересечения прямой. Эта прямая пересечет AB в его середине.) Пусть середина будет точкой O.
3. Постройте окружность с центром в точке O и радиусом OA (или OB). Отрезок AB будет диаметром этой окружности.
4. Постройте прямую, перпендикулярную отрезку AB и проходящую через точку O. Эта прямая пересечет окружность в двух точках, например, C и D.
5. Рассмотрим треугольник ACB. Угол $\angle ACB$ равен $90^\circ$, так как он вписан в полуокружность и опирается на диаметр AB. Поскольку C лежит на перпендикуляре к AB, проходящем через его середину O, $AC = BC$. Таким образом, треугольник ACB является равнобедренным прямоугольным треугольником.
6. Длина катета AC (или BC) равна $\frac{AB}{\sqrt{2}} = \frac{d_{\text{min}}}{\sqrt{2}}$. Эта длина AC является искомым радиусом $R$ описанной окружности правильного восьмиугольника.

Теперь, имея радиус $R$, построим правильный восьмиугольник:

7. Постройте окружность с центром в произвольной точке $O_c$ и радиусом, равным отрезку AC (т.е. $R$).
8. Проведите через центр $O_c$ два взаимно перпендикулярных диаметра. Например, один горизонтальный и один вертикальный. Эти диаметры пересекут окружность в четырех точках, которые будут первыми четырьмя вершинами восьмиугольника.
9. Постройте биссектрисы четырех прямых углов, образованных этими диаметрами в центре $O_c$. (Для этого из $O_c$ проведите дугу, пересекающую оба диаметра, затем из точек пересечения проведите дуги одинакового радиуса, их пересечение даст точку, через которую проходит биссектриса угла.) Эти биссектрисы также будут диаметрами.
10. Биссектрисы пересекут окружность в оставшихся четырех точках, которые будут другими четырьмя вершинами восьмиугольника.
11. Соедините последовательно все 8 вершин отрезками. Полученный многоугольник является правильным восьмиугольником.

Ответ: Правильный восьмиугольник построен.