Номер 341, страница 153 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

341. а) Периметр правильного шестиугольника равен $12\sqrt{2}$ см. Найдите его площадь.

б) К Ажар пришли друзья Арман и Анар с тортом квадратной формы. Как можно разделить этот торт поровну между ними, чтобы каждый получил по два куска? Приведите два решения задачи.

в) Найдите наибольший и наименьший размеры стороны квадратной скатерти для круглого казахского стола (рисунок 188), чтобы скатерть полностью покрывала стол и при этом не касалась пола, если высота стола равна 40 см, а диаметр его крышки – 140 см.

Рисунок 188

а) Периметр правильного шестиугольника равен $12\sqrt{2}$ см. Найдите его площадь.

Дано:

Периметр правильного шестиугольника $P = 12\sqrt{2}$ см

Перевод в СИ:

$P = 12\sqrt{2} \cdot 10^{-2}$ м

Найти:

Площадь правильного шестиугольника $S$

Решение:

Правильный шестиугольник имеет 6 равных сторон. Обозначим длину стороны $a$.

Периметр правильного шестиугольника равен $P = 6a$.

Отсюда найдем сторону $a$:

$a = \frac{P}{6} = \frac{12\sqrt{2}}{6} = 2\sqrt{2}$ см

Площадь правильного шестиугольника можно найти по формуле:

$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$

Подставим значение стороны $a$:

$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} (2\sqrt{2})^2$

$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} (4 \cdot 2)$

$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 8$

$S = 3\sqrt{3} \cdot 4$

$S = 12\sqrt{3}$ см$^2$

Ответ: $12\sqrt{3}$ см$^2$

б) К Ажар пришли друзья Арман и Анар с тортом квадратной формы. Как можно разделить этот торт поровну между ними, чтобы каждый получил по два куска? Приведите два решения задачи.

Дано:

Квадратный торт. Всего 3 человека (Ажар, Арман, Анар).

Каждый должен получить по два куска.

Найти:

Два способа разделения торта.

Решение:

Всего 3 человека. Если каждый должен получить по два куска, то общее количество кусков должно быть $3 \times 2 = 6$. Для того чтобы торт был разделен поровну, все 6 кусков должны быть одинаковыми по площади.

Первое решение:

Торт можно разделить на 6 одинаковых прямоугольных кусков. Для этого необходимо сделать 5 параллельных разрезов, которые делят одну из сторон квадрата на 6 равных частей. Например, если сторона квадрата $L$, то разрезы проводятся параллельно одной стороне на расстоянии $L/6, 2L/6, \dots, 5L/6$ от края. В результате получаются 6 прямоугольников размером $L \times (L/6)$. Каждый из трех человек получает по два таких куска.

Второе решение:

Торт можно сначала разделить на 3 равные части двумя параллельными разрезами. Например, разделить квадрат на 3 горизонтальные полосы размером $L \times (L/3)$. Затем каждую из этих трех полос разделить пополам одним перпендикулярным разрезом, проходящим через середину каждой полосы. Например, вертикальный разрез на расстоянии $L/2$ от бокового края. В итоге получается 6 одинаковых прямоугольных кусков размером $(L/2) \times (L/3)$. Каждый из трех человек получает по два таких куска.

Ответ:

1. Разделить торт на 6 равных прямоугольных кусков, сделав 5 параллельных разрезов.

2. Разделить торт на 3 равные части двумя параллельными разрезами. Затем каждую из этих 3 частей разделить пополам одним перпендикулярным разрезом.

в) Найдите наибольший и наименьший размеры стороны квадратной скатерти для круглого казахского стола (рисунок 188), чтобы скатерть полностью покрывала стол и при этом не касалась пола, если высота стола равна 40 см, а диаметр его крышки – 140 см.

Дано:

Высота стола $h = 40$ см

Диаметр крышки стола $D = 140$ см

Перевод в СИ:

$h = 40$ см $= 0.4$ м

$D = 140$ см $= 1.4$ м

Радиус крышки стола $R = D/2 = 140/2 = 70$ см $= 0.7$ м

Найти:

Наименьший размер стороны квадратной скатерти $a_{min}$

Наибольший размер стороны квадратной скатерти $a_{max}$

Решение:

Наименьший размер стороны скатерти ($a_{min}$):

Чтобы квадратная скатерть полностью покрывала круглую крышку стола, ее сторона должна быть не меньше диаметра крышки стола. В этом случае, круг будет вписан в квадрат, и скатерть будет лежать ровно на столе, не свисая. Таким образом, наименьшая сторона скатерти равна диаметру стола:

$a_{min} = D$

$a_{min} = 140$ см

Наибольший размер стороны скатерти ($a_{max}$):

Чтобы скатерть не касалась пола, ее самая нижняя точка (углы скатерти) должна находиться выше уровня пола. Предполагается, что скатерть лежит по центру стола.

Расстояние от центра квадратной скатерти до ее угла равно половине ее диагонали. Если сторона скатерти равна $a$, то ее диагональ равна $a\sqrt{2}$. Следовательно, расстояние от центра до угла равно $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Часть скатерти, которая свисает за пределы круглой крышки стола (по диагонали), определяется как разность между расстоянием от центра до угла скатерти и радиусом крышки стола. Эта часть скатерти свисает вниз.

Длина свисающей части скатерти (по диагонали): $L_{свисания} = \frac{a\sqrt{2}}{2} - R$

Для того чтобы скатерть не касалась пола, эта свисающая длина должна быть строго меньше высоты стола $h$. (Если равна, то коснется пола).

$\frac{a\sqrt{2}}{2} - R < h$

Перенесем $R$ в правую часть неравенства:

$\frac{a\sqrt{2}}{2} < h + R$

Умножим обе части на 2:

$a\sqrt{2} < 2(h+R)$

Разделим обе части на $\sqrt{2}$:

$a < \frac{2(h+R)}{\sqrt{2}}$

$a < \sqrt{2}(h+R)$

Наибольший допустимый размер стороны скатерти $a_{max}$ будет равен значению, при котором скатерть максимально близко подходит к полу, но не касается его. То есть, мы берем верхний предел неравенства.

$a_{max} = \sqrt{2}(h+R)$

Подставим заданные значения $h=40$ см и $R=70$ см:

$a_{max} = \sqrt{2}(40 \text{ см} + 70 \text{ см})$

$a_{max} = \sqrt{2}(110 \text{ см})$

$a_{max} = 110\sqrt{2}$ см

Приблизительное значение: $110 \times 1.4142 \approx 155.56$ см.

Ответ:

Наименьший размер стороны: $a_{min} = 140$ см

Наибольший размер стороны: $a_{max} = 110\sqrt{2}$ см