Номер 338, страница 152 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

Сколько сторон у правильного многоугольника, сумма углов которого равна $1620^\circ$?

б) Существует ли правильный многоугольник, угол которого равен $110^\circ$?

a)

Дано

Правильный многоугольник

Сумма внутренних углов: $S = 1620^\circ$

Перевод в СИ

Данные уже в подходящих единицах (градусы), перевод в СИ не требуется.

Найти

Количество сторон многоугольника: $n$

Решение

Сумма внутренних углов $S$ правильного $n$-угольника определяется формулой: $S = (n - 2) \cdot 180^\circ$.

Подставим известное значение суммы углов:

$(n - 2) \cdot 180^\circ = 1620^\circ$

Разделим обе части уравнения на $180^\circ$:

$n - 2 = \frac{1620}{180}$

$n - 2 = 9$

Прибавим 2 к обеим частям уравнения:

$n = 9 + 2$

$n = 11$

Так как $n = 11$ является целым числом и $n \ge 3$, то такой правильный многоугольник существует.

Ответ: 11 сторон

б)

Дано

Правильный многоугольник

Величина одного внутреннего угла: $\alpha = 110^\circ$

Перевод в СИ

Данные уже в подходящих единицах (градусы), перевод в СИ не требуется.

Найти

Существует ли такой правильный многоугольник?

Решение

Величина одного внутреннего угла $\alpha$ правильного $n$-угольника определяется формулой: $\alpha = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}$.

Подставим известное значение угла:

$110^\circ = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}$

Умножим обе части уравнения на $n$:

$110n = (n - 2) \cdot 180$

Раскроем скобки в правой части:

$110n = 180n - 360$

Перенесем слагаемые с $n$ в одну сторону, а свободные члены в другую:

$360 = 180n - 110n$

$360 = 70n$

Разделим обе части на 70:

$n = \frac{360}{70}$

$n = \frac{36}{7}$

Так как $n = \frac{36}{7}$ не является целым числом, то не существует правильного многоугольника, у которого величина внутреннего угла равна $110^\circ$. Количество сторон многоугольника должно быть целым числом, не менее 3.

Ответ: Не существует