Номер 334, страница 145 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

334. a) Около окружности описан параллелограмм, периметр которого равен $P$, а тупой угол $\alpha$. Найдите радиус этой окружности.

б) Постройте трапецию с основаниями 2 см и 4,5 см, в которую можно вписать окружность и описать окружность около нее.

a) Найдите радиус этой окружности.

Дано:

Около окружности описан параллелограмм.

Периметр параллелограмма $P$.

Тупой угол параллелограмма $\alpha$.

Найти:

Радиус окружности $r$.

Решение:

Если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм является ромбом. Это следует из свойства, что для четырехугольника, описанного около окружности, суммы длин противоположных сторон равны. Для параллелограмма с соседними сторонами $a$ и $b$ это означает $a+a = b+b$, то есть $2a = 2b$, или $a=b$. Следовательно, все стороны равны, и фигура является ромбом.

Пусть сторона ромба равна $a$.

Периметр ромба $P = 4a$. Отсюда $a = \frac{P}{4}$.

Высота ромба $h$ равна диаметру вписанной окружности, то есть $h = 2r$.

Высоту ромба также можно выразить через его сторону и угол. Поскольку $\alpha$ - тупой угол, острый угол ромба равен $180^\circ - \alpha$. Высота, проведенная к стороне, равна произведению стороны на синус острого угла:

$h = a \sin(180^\circ - \alpha) = a \sin \alpha$.

Приравниваем два выражения для высоты:

$2r = a \sin \alpha$.

Подставляем выражение для стороны $a$:

$2r = \frac{P}{4} \sin \alpha$.

Выражаем радиус $r$:

$r = \frac{P \sin \alpha}{8}$.

Ответ: $r = \frac{P \sin \alpha}{8}$.

б) Постройте трапецию с основаниями 2 см и 4,5 см, в которую можно вписать окружность и описать окружность около нее.

Решение:

Если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция является равнобедренной.

Если в трапецию можно вписать окружность, то суммы длин противоположных сторон равны. Для равнобедренной трапеции с основаниями $a$ и $b$ и боковыми сторонами $c$ это означает $a+b = c+c$, то есть $a+b = 2c$.

Даны основания $a = 2$ см и $b = 4.5$ см.

Найдем длину боковой стороны $c$:

$2c = 2 + 4.5$

$2c = 6.5$

$c = \frac{6.5}{2} = 3.25$ см.

Теперь найдем высоту $h$ этой равнобедренной трапеции. Опустим перпендикуляры из концов меньшего основания на большее. Длина отрезка большего основания, отсекаемого перпендикуляром от вершины меньшего основания, равна $\frac{b-a}{2}$.

$\frac{4.5 - 2}{2} = \frac{2.5}{2} = 1.25$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, высотой и этим отрезком. По теореме Пифагора:

$h^2 + (\frac{b-a}{2})^2 = c^2$

$h^2 + 1.25^2 = 3.25^2$

$h^2 = 3.25^2 - 1.25^2$

$h^2 = (3.25 - 1.25)(3.25 + 1.25)$

$h^2 = 2 \times 4.5$

$h^2 = 9$

$h = 3$ см.

Для построения трапеции выполним следующие шаги:

1. Проведем прямую и на ней отложим отрезок AD длиной 4.5 см (большее основание).

2. Из точки A отложим отрезок AE = 1.25 см на отрезке AD. Из точки D отложим отрезок DF = 1.25 см на отрезке DA.

3. Проведем перпендикуляры к отрезку AD через точки E и F.

4. На каждом перпендикуляре отложим отрезки EB и FC длиной 3 см (высота трапеции). Точки B и C будут вершинами меньшего основания.

5. Соединим точки B и C. Длина отрезка BC должна быть 2 см (меньшее основание), что соответствует длине отрезка EF ($4.5 - 1.25 - 1.25 = 2$ см).

6. Соединим точки A и B, а также D и C. Полученная трапеция ABCD является искомой.

Ответ: Построение описано в решении.