Номер 331, страница 145 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

331. Постройте с помощью циркуля и линейки квадрат:
а) вписанный в данную окружность;
б) описанный около данной окружности.

а) вписанный в данную окружность

Дано

Дана окружность с центром $O$ и произвольным радиусом $R$.

Найти

Построить квадрат, вписанный в данную окружность.

Решение

Для построения квадрата, вписанного в данную окружность, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Проведем произвольную окружность с центром $O$ и радиусом $R$.

2. Проведем через центр $O$ произвольный диаметр $AB$. Точки $A$ и $B$ лежат на окружности.

3. Построим диаметр $CD$, перпендикулярный диаметру $AB$ и проходящий через центр $O$. Для этого:

a) Установим ножку циркуля в точку $A$ и проведем дугу радиусом, большим, чем $AO$.

b) Сохраняя тот же радиус, установим ножку циркуля в точку $B$ и проведем еще одну дугу, пересекающую первую в двух точках (например, $P$ и $Q$).

c) С помощью линейки проведем прямую через точки $P$ и $Q$. Эта прямая пройдет через центр $O$ и будет перпендикулярна диаметру $AB$.

d) Точки пересечения этой перпендикулярной прямой с окружностью обозначим $C$ и $D$.

4. Точки $A, C, B, D$ являются вершинами искомого квадрата. Соединим их последовательно отрезками: $AC$, $CB$, $BD$, $DA$.

Полученный четырехугольник $ACBD$ является квадратом, так как его диагонали $AB$ и $CD$ равны (оба являются диаметрами окружности), перпендикулярны друг другу и делятся пополам в точке пересечения $O$.

Ответ: Квадрат $ACBD$ построен.

б) описанный около данной окружности

Дано

Дана окружность с центром $O$ и произвольным радиусом $R$.

Найти

Построить квадрат, описанный около данной окружности.

Решение

Для построения квадрата, описанного около данной окружности, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Проведем произвольную окружность с центром $O$ и радиусом $R$.

2. Проведем через центр $O$ произвольный диаметр $AB$. Точки $A$ и $B$ лежат на окружности.

3. Построим диаметр $CD$, перпендикулярный диаметру $AB$ и проходящий через центр $O$. (Шаги аналогичны пункту 3а-3d из части а), при этом $C$ и $D$ также лежат на окружности).

4. Через каждую из четырех точек $A, B, C, D$ (концы перпендикулярных диаметров) проведем прямые, перпендикулярные соответствующим радиусам $OA, OB, OC, OD$. Эти прямые будут касательными к окружности в этих точках.

a) Построим прямую $L_A$, перпендикулярную $AB$ в точке $A$.

b) Построим прямую $L_B$, перпендикулярную $AB$ в точке $B$.

c) Построим прямую $L_C$, перпендикулярную $CD$ в точке $C$.

d) Построим прямую $L_D$, перпендикулярную $CD$ в точке $D$.

Метод построения перпендикуляра к прямой через точку на ней (например, к $AB$ в точке $A$): Отложим на прямой $AB$ отрезки $AX$ и $AY$ равной длины по обе стороны от точки $A$. Из точек $X$ и $Y$ проведем две дуги равного, достаточно большого радиуса, которые пересекутся в точке $Z$. Прямая $AZ$ будет перпендикулярна $AB$ в точке $A$. Повторим этот процесс для точек $B, C, D$.

5. Эти четыре касательные $L_A, L_B, L_C, L_D$ пересекутся, образуя четырехугольник.

Полученный четырехугольник является квадратом, так как его стороны касаются окружности, и стороны попарно параллельны (например, $L_A$ параллельна $L_B$, а $L_C$ параллельна $L_D$), а соседние стороны перпендикулярны (например, $L_A$ перпендикулярна $L_C$). Расстояние между параллельными касательными ($L_A$ и $L_B$, или $L_C$ и $L_D$) равно диаметру окружности $2R$. Таким образом, все стороны полученного четырехугольника равны $2R$, и все углы прямые.

Ответ: Описанный квадрат построен.