Страница 152 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ

1. Какой многоугольник называется правильным многоугольником?

2. Докажите, что: а) около любого правильного многоугольника можно описать единственную окружность; б) в любой правильный многоугольник можно вписать единственную окружность.

3. Докажите, что центры окружностей, описанной около правильного многоугольника и вписанной в него, совпадают.

4. Что называется центром правильного многоугольника?

1. Какой многоугольник называется правильным многоугольником?

Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны между собой и все углы равны между собой.

Ответ:

2. Докажите, что: а) около любого правильного многоугольника можно описать единственную окружность; б) в любой правильный многоугольник можно вписать единственную окружность.

а) около любого правильного многоугольника можно описать единственную окружность

Рассмотрим правильный n-угольник $A_1A_2...A_n$. По свойству правильного многоугольника, все его стороны равны ($A_1A_2 = A_2A_3 = ... = A_nA_1$), и все его внутренние углы равны. Построим серединные перпендикуляры к двум смежным сторонам, например, к $A_1A_2$ и $A_2A_3$. Эти перпендикуляры пересекутся в некоторой точке $O$. По свойству серединного перпендикуляра, точка $O$ равноудалена от вершин $A_1$ и $A_2$ (так как $O$ лежит на серединном перпендикуляре к $A_1A_2$), то есть $OA_1 = OA_2$. Аналогично, $O$ равноудалена от вершин $A_2$ и $A_3$ (так как $O$ лежит на серединном перпендикуляре к $A_2A_3$), то есть $OA_2 = OA_3$. Отсюда следует, что $OA_1 = OA_2 = OA_3$. Продолжая это рассуждение для всех сторон многоугольника, мы обнаружим, что точка $O$ равноудалена от всех вершин $A_1, A_2, ..., A_n$. Таким образом, все вершины многоугольника лежат на окружности с центром $O$ и радиусом $R = OA_1$. Эта окружность называется описанной окружностью.

Уникальность: Центр описанной окружности всегда является точкой пересечения серединных перпендикуляров ко всем сторонам многоугольника. В случае правильного многоугольника все эти серединные перпендикуляры пересекаются в одной единственной точке, которая является центром многоугольника. Радиус описанной окружности однозначно определяется расстоянием от этой единственной точки до любой вершины. Следовательно, описанная окружность для правильного многоугольника единственна.

Ответ:

б) в любой правильный многоугольник можно вписать единственную окружность.

Пусть $O$ - центр правильного n-угольника, который мы нашли в части (а) как центр описанной окружности. Расстояние от точки $O$ до каждой стороны многоугольника равно высоте равнобедренного треугольника, образованного центром $O$ и двумя соседними вершинами многоугольника (например, треугольник $OA_1A_2$). Поскольку все такие треугольники ($ \Delta OA_1A_2, \Delta OA_2A_3, ..., \Delta OA_nA_1$) конгруэнтны (например, по трем сторонам: $R, R$ и сторона многоугольника $a$), их соответствующие высоты, опущенные из $O$ на стороны многоугольника, также равны. Пусть это общее расстояние равно $r$. Тогда окружность с центром $O$ и радиусом $r$ будет касаться всех сторон многоугольника, так как радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной. Эта окружность называется вписанной окружностью.

Уникальность: Центр вписанной окружности всегда является точкой пересечения биссектрис всех углов многоугольника. В правильном многоугольнике все биссектрисы его углов пересекаются в одной единственной точке, которая является центром многоугольника (той же точкой $O$). Радиус вписанной окружности однозначно определяется расстоянием от этой единственной точки до любой стороны. Следовательно, вписанная окружность для правильного многоугольника единственна.

Ответ:

3. Докажите, что центры окружностей, описанной около правильного многоугольника и вписанной в него, совпадают.

Доказательство этого факта основано на свойствах симметрии правильного многоугольника. Пусть $O$ - центр описанной окружности правильного n-угольника. По определению, $O$ равноудалена от всех вершин многоугольника. Рассмотрим любую сторону многоугольника, например, $A_1A_2$. Треугольник $\Delta OA_1A_2$ является равнобедренным ($OA_1 = OA_2 = R$, где $R$ - радиус описанной окружности). Высота, опущенная из $O$ на сторону $A_1A_2$, является также медианой и биссектрисой угла $\angle A_1OA_2$. Длина этой высоты - это расстояние от $O$ до стороны $A_1A_2$. Поскольку все треугольники, образованные центром $O$ и соседними вершинами (например, $\Delta OA_1A_2, \Delta OA_2A_3$, и т.д.), конгруэнтны, то высоты, опущенные из $O$ на каждую из сторон, будут равны. Это означает, что точка $O$ равноудалена от всех сторон многоугольника. Следовательно, $O$ является также центром вписанной окружности.

Обратное утверждение: если $O'$ - центр вписанной окружности правильного n-угольника, то по определению $O'$ равноудалена от всех сторон многоугольника. Соединим $O'$ с каждой вершиной многоугольника. Эти отрезки являются биссектрисами углов многоугольника. Благодаря симметрии правильного многоугольника, точка $O'$ будет равноудалена от всех вершин. Следовательно, $O'$ является также центром описанной окружности.

Поскольку центр описанной окружности единственен и центр вписанной окружности единственен (как доказано в пункте 2), и мы показали, что центр описанной окружности является центром вписанной, и наоборот, то эти центры совпадают.

Ответ:

4. Что называется центром правильного многоугольника?

Центром правильного многоугольника называется общая точка, которая является центром как описанной около него окружности, так и вписанной в него окружности. Эта точка также является центром его симметрии.

Ответ:

335. a) Является ли вписанный в окружность равносторонний многоугольник правильным? Ответ обоснуйте.

б) Является ли описанный около окружности равносторонний многоугольник правильным? Ответ обоснуйте.

в) Постройте циркулем и линейкой правильный треугольник, сторона которого равна ($ \sqrt{3} + 1 $) см.

a) Является ли вписанный в окружность равносторонний многоугольник правильным? Ответ обоснуйте.

Да, является. Многоугольник называется правильным, если у него равны все стороны и равны все углы. Если равносторонний многоугольник вписан в окружность, то его стороны являются хордами этой окружности. Поскольку все стороны многоугольника равны, то равны и соответствующие им хорды. Равные хорды в окружности стягивают равные дуги. Пусть $n$ - количество сторон многоугольника. Тогда каждая дуга, стягиваемая стороной, имеет одинаковую меру. Угол, вписанный в окружность, равен половине угловой величины дуги, на которую он опирается. Каждый внутренний угол вписанного многоугольника опирается на сумму $(n-2)$ таких равных дуг, составляющих оставшуюся часть окружности. Поскольку все эти дуги равны, то и все углы многоугольника будут равны. Таким образом, вписанный равносторонний многоугольник является и равноугольным, а значит, он является правильным.

Ответ: Да.

б) Является ли описанный около окружности равносторонний многоугольник правильным? Ответ обоснуйте.

Нет, не является. Многоугольник называется правильным, если у него равны все стороны и равны все углы. Описанный около окружности равносторонний многоугольник имеет все стороны равными. Однако это не гарантирует равенства всех его углов. Примером такого многоугольника является ромб. Ромб — это равносторонний четырехугольник, который всегда можно описать около окружности. Но ромб является правильным многоугольником (квадратом) только в том случае, если все его углы прямые. Если ромб не является квадратом, то его углы не равны (например, противоположные углы равны, но смежные углы не равны), и, следовательно, он не является правильным многоугольником, несмотря на то, что он равносторонний и описан около окружности.

Ответ: Нет.

в) Постройте циркулем и линейкой правильный треугольник, сторона которого равна $(\sqrt{3} + 1)$ см.

Дано

Требуется построить правильный треугольник со стороной $a = (\sqrt{3} + 1)$ см.

Найти:

Построение правильного треугольника.

Решение

Для построения правильного треугольника необходимо сначала построить отрезок длиной $a = (\sqrt{3} + 1)$ см.

1. Построение отрезка длиной $\sqrt{3}$ см:

a) Проведем произвольную прямую и отметим на ней точку $O$.

b) От точки $O$ отложим отрезок $OA = 1$ см (единичный отрезок).

c) Восстановим перпендикуляр к отрезку $OA$ в точке $A$.

d) На этом перпендикуляре отложим отрезок $AB = 1$ см.

e) Соединим точки $O$ и $B$. По теореме Пифагора, длина отрезка $OB = \sqrt{OA^2 + AB^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см.

f) Восстановим перпендикуляр к отрезку $OB$ в точке $B$.

g) На этом перпендикуляре отложим отрезок $BC = 1$ см.

h) Соединим точки $O$ и $C$. По теореме Пифагора, длина отрезка $OC = \sqrt{OB^2 + BC^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}$ см.

2. Построение отрезка длиной $(\sqrt{3} + 1)$ см:

a) Продолжим отрезок $OC$ за точку $C$.

b) От точки $C$ на продолжении отложим отрезок $CD = 1$ см (используя тот же единичный отрезок, что и ранее).

c) Отрезок $OD$ будет иметь длину $OC + CD = \sqrt{3} + 1$ см. Это и есть сторона $a$ нашего правильного треугольника.

3. Построение правильного треугольника со стороной $a$:

a) Проведем произвольную прямую и с помощью циркуля отложим на ней отрезок $PQ$, равный $OD$ (то есть $a = \sqrt{3} + 1$ см).

b) С центром в точке $P$ и радиусом $PQ$ (равным $a$) проведем дугу.

c) С центром в точке $Q$ и радиусом $PQ$ (равным $a$) проведем вторую дугу.

d) Точка пересечения этих дуг, назовем ее $R$, является третьей вершиной правильного треугольника.

e) Соединим точки $P$, $Q$ и $R$ отрезками. Треугольник $PQR$ является искомым правильным треугольником со стороной $a = (\sqrt{3} + 1)$ см.

Ответ: Построение выполнено согласно описанным шагам.

336. a) Чему равна сумма внешних углов правильного n-угольника, взятых по одному при каждой его вершине?

б) Найдите угол правильного 16-угольника.

а)

Решение
Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой его вершине, всегда равна $360^\circ$. Это утверждение справедливо и для правильного $n$-угольника, независимо от количества его сторон $n$.

Ответ: $360^\circ$

б)

Дано
Правильный 16-угольник.
Количество сторон $n = 16$.

Найти
Угол правильного 16-угольника ($\alpha$).

Решение
Угол правильного многоугольника можно найти по формуле для величины внутреннего угла: $\alpha = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$
Подставим $n = 16$ в формулу:
$\alpha = \frac{(16-2) \times 180^\circ}{16}$
$\alpha = \frac{14 \times 180^\circ}{16}$
$\alpha = \frac{2520^\circ}{16}$
$\alpha = 157.5^\circ$

Альтернативный способ: через внешний угол.
Величина одного внешнего угла правильного многоугольника: $\beta = \frac{360^\circ}{n}$
Для $n = 16$: $\beta = \frac{360^\circ}{16} = 22.5^\circ$
Внутренний и внешний углы при одной вершине являются смежными, их сумма равна $180^\circ$.
$\alpha = 180^\circ - \beta$
$\alpha = 180^\circ - 22.5^\circ$
$\alpha = 157.5^\circ$

Ответ: $157.5^\circ$

337. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если его угол равен:

а) $140^\circ$;

б) $144^\circ$;

в) $150^\circ$;

г) $160^\circ$?

а) 140°

Дано:

угол правильного многоугольника $\alpha = 140^\circ$

Перевод в СИ:

$\alpha = 140^\circ = 140 \times \frac{\pi}{180}$ рад $= \frac{7\pi}{9}$ рад

Найти:

количество сторон $n$

Решение:

Для нахождения количества сторон $n$ правильного многоугольника, если известен его внутренний угол $\alpha$, используем формулу:

$n = \frac{360^\circ}{180^\circ - \alpha}$

Подставим значение $\alpha = 140^\circ$:

$n = \frac{360^\circ}{180^\circ - 140^\circ} = \frac{360^\circ}{40^\circ} = 9$

Ответ: $9$

б) 144°

Дано:

угол правильного многоугольника $\alpha = 144^\circ$

Перевод в СИ:

$\alpha = 144^\circ = 144 \times \frac{\pi}{180}$ рад $= \frac{4\pi}{5}$ рад

Найти:

количество сторон $n$

Решение:

Используем ту же формулу:

$n = \frac{360^\circ}{180^\circ - \alpha}$

Подставим значение $\alpha = 144^\circ$:

$n = \frac{360^\circ}{180^\circ - 144^\circ} = \frac{360^\circ}{36^\circ} = 10$

Ответ: $10$

в) 150°

Дано:

угол правильного многоугольника $\alpha = 150^\circ$

Перевод в СИ:

$\alpha = 150^\circ = 150 \times \frac{\pi}{180}$ рад $= \frac{5\pi}{6}$ рад

Найти:

количество сторон $n$

Решение:

Используем ту же формулу:

$n = \frac{360^\circ}{180^\circ - \alpha}$

Подставим значение $\alpha = 150^\circ$:

$n = \frac{360^\circ}{180^\circ - 150^\circ} = \frac{360^\circ}{30^\circ} = 12$

Ответ: $12$

г) 160°

Дано:

угол правильного многоугольника $\alpha = 160^\circ$

Перевод в СИ:

$\alpha = 160^\circ = 160 \times \frac{\pi}{180}$ рад $= \frac{8\pi}{9}$ рад

Найти:

количество сторон $n$

Решение:

Используем ту же формулу:

$n = \frac{360^\circ}{180^\circ - \alpha}$

Подставим значение $\alpha = 160^\circ$:

$n = \frac{360^\circ}{180^\circ - 160^\circ} = \frac{360^\circ}{20^\circ} = 18$

Ответ: $18$

Сколько сторон у правильного многоугольника, сумма углов которого равна $1620^\circ$?

б) Существует ли правильный многоугольник, угол которого равен $110^\circ$?

a)

Дано

Правильный многоугольник

Сумма внутренних углов: $S = 1620^\circ$

Перевод в СИ

Данные уже в подходящих единицах (градусы), перевод в СИ не требуется.

Найти

Количество сторон многоугольника: $n$

Решение

Сумма внутренних углов $S$ правильного $n$-угольника определяется формулой: $S = (n - 2) \cdot 180^\circ$.

Подставим известное значение суммы углов:

$(n - 2) \cdot 180^\circ = 1620^\circ$

Разделим обе части уравнения на $180^\circ$:

$n - 2 = \frac{1620}{180}$

$n - 2 = 9$

Прибавим 2 к обеим частям уравнения:

$n = 9 + 2$

$n = 11$

Так как $n = 11$ является целым числом и $n \ge 3$, то такой правильный многоугольник существует.

Ответ: 11 сторон

б)

Дано

Правильный многоугольник

Величина одного внутреннего угла: $\alpha = 110^\circ$

Перевод в СИ

Данные уже в подходящих единицах (градусы), перевод в СИ не требуется.

Найти

Существует ли такой правильный многоугольник?

Решение

Величина одного внутреннего угла $\alpha$ правильного $n$-угольника определяется формулой: $\alpha = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}$.

Подставим известное значение угла:

$110^\circ = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}$

Умножим обе части уравнения на $n$:

$110n = (n - 2) \cdot 180$

Раскроем скобки в правой части:

$110n = 180n - 360$

Перенесем слагаемые с $n$ в одну сторону, а свободные члены в другую:

$360 = 180n - 110n$

$360 = 70n$

Разделим обе части на 70:

$n = \frac{360}{70}$

$n = \frac{36}{7}$

Так как $n = \frac{36}{7}$ не является целым числом, то не существует правильного многоугольника, у которого величина внутреннего угла равна $110^\circ$. Количество сторон многоугольника должно быть целым числом, не менее 3.

Ответ: Не существует