Страница 153 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

уровень В

339. Докажите, что середины сторон правильного многоугольника являются вершинами другого правильного многоугольника.

Дано: правильный n-угольник.

Найти: доказать, что середины его сторон являются вершинами другого правильного многоугольника.

Решение

Докажите, что середины сторон правильного многоугольника являются вершинами другого правильного многоугольника.

Пусть дан правильный $n$-угольник $P_1$ с вершинами $V_1, V_2, ..., V_n$ и сторонами $S_1, S_2, ..., S_n$, где $S_i = V_iV_{i+1}$ (считая $V_{n+1}=V_1$). У любого правильного многоугольника существует единственный центр $O$, который равноудален от всех его вершин (центр описанной окружности) и равноудален от всех его сторон (центр вписанной окружности). Расстояние от центра $O$ до каждой стороны называется апофемой. Пусть апофема правильного многоугольника $P_1$ равна $r$. Середины сторон правильного многоугольника являются точками касания вписанной окружности, и, следовательно, лежат на этой окружности. Отрезки, соединяющие центр $O$ с серединами сторон, перпендикулярны этим сторонам и имеют длину, равную апофеме $r$. Пусть $M_1, M_2, ..., M_n$ — середины сторон $S_1, S_2, ..., S_n$ соответственно. Эти $n$ точек являются вершинами нового многоугольника $P_2$. Стороны многоугольника $P_2$ — это отрезки, соединяющие соседние середины сторон, например, $M_iM_{i+1}$.

Для доказательства того, что $P_2$ является правильным многоугольником, необходимо показать, что все его стороны равны по длине и все его внутренние углы равны по величине.

Равенство сторон нового многоугольника:

Рассмотрим треугольники $\triangle OM_iM_{i+1}$ для $i = 1, ..., n$. Каждая из сторон $OM_i$ и $OM_{i+1}$ этих треугольников является апофемой исходного правильного многоугольника $P_1$, поэтому $OM_i = OM_{i+1} = r$. Угол между двумя соседними апофемами, проведенными к серединам соседних сторон правильного многоугольника, равен центральному углу, который в данном случае составляет $\frac{2\pi}{n}$ радиан (или $360^\circ/n$). То есть, $\angle M_iOM_{i+1} = \frac{2\pi}{n}$ для всех $i$. Поскольку все треугольники $\triangle OM_iM_{i+1}$ являются равнобедренными (с двумя сторонами, равными $r$) и имеют одинаковый угол между этими сторонами ($\frac{2\pi}{n}$), то по признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (СУС) все эти треугольники конгруэнтны. Из конгруэнтности треугольников следует равенство всех их третьих сторон, которые являются сторонами многоугольника $P_2$. Следовательно, $M_1M_2 = M_2M_3 = ... = M_nM_1$. Таким образом, многоугольник $P_2$ является равносторонним.

Равенство углов нового многоугольника:

Исходный правильный $n$-угольник $P_1$ обладает вращательной симметрией относительно своего центра $O$ с углом поворота $\frac{2\pi}{n}$. Это означает, что поворот $P_1$ вокруг $O$ на угол $\frac{2\pi}{n}$ отображает $P_1$ на самого себя. При таком повороте каждая сторона $S_i$ многоугольника $P_1$ отображается на соседнюю сторону $S_{i+1}$. Поскольку $M_i$ является серединой стороны $S_i$, а $M_{i+1}$ — серединой стороны $S_{i+1}$, то при повороте на $\frac{2\pi}{n}$ точка $M_i$ отображается в точку $M_{i+1}$. Это означает, что множество вершин $\{M_1, M_2, ..., M_n\}$ нового многоугольника $P_2$ также отображается на себя при повороте вокруг центра $O$ на угол $\frac{2\pi}{n}$. Многоугольник, у которого все стороны равны (что было доказано выше) и который обладает вращательной симметрией относительно своего центра с углом $\frac{2\pi}{n}$ (при $n$ вершинах), является правильным. Эта симметрия гарантирует равенство всех внутренних углов многоугольника $P_2$. Например, угол при вершине $M_i$ будет отображен на угол при вершине $M_{i+1}$, что означает их равенство.

Таким образом, многоугольник $P_2$, образованный серединами сторон исходного правильного $n$-угольника, является равносторонним и равноугольным, что по определению означает, что он является правильным многоугольником.

Ответ: Доказано.

340. Дана меньшая диагональ правильного $n$-угольника. Постройте с помощью циркуля и линейки этот $n$-угольник, если:

а) $n=6$;

б) $n=8$.

a) $n=6$

Дано: Дан отрезок, равный длине меньшей диагонали $d_{\text{min}}$ правильного шестиугольника.

Найти: Построить правильный шестиугольник.

Решение:

Для правильного шестиугольника ($n=6$) сторона $a$ равна радиусу описанной окружности $R$. Меньшая диагональ $d_{\text{min}}$ правильного шестиугольника соединяет вершины через одну, например, $V_1$ и $V_3$. Длина этой диагонали выражается как $d_{\text{min}} = a\sqrt{3}$. Следовательно, сторона шестиугольника $a = \frac{d_{\text{min}}}{\sqrt{3}}$.

Для построения отрезка длиной $a = \frac{d_{\text{min}}}{\sqrt{3}}$ по данному отрезку $d_{\text{min}}$ можно использовать следующую процедуру:

1. Начертите произвольную прямую и отметьте на ней точку A. Отложите от точки A отрезок AB, равный $d_{\text{min}}$.
2. В точке B постройте перпендикуляр BP к отрезку AB. (Для этого из B проведите дугу, пересекающую прямую AB в двух точках. Из этих точек проведите дуги одинакового радиуса большего, чем радиус первой дуги, так, чтобы они пересеклись. Через точку пересечения и точку B проведите прямую. Эта прямая будет перпендикулярна AB.)
3. Из точки A проведите луч AC под углом $30^\circ$ к отрезку AB. (Для построения угла $30^\circ$: постройте равносторонний треугольник ADE со стороной AD, при этом луч AD должен лежать на прямой AB. Угол DAB будет $60^\circ$. Постройте биссектрису угла DAB. Это даст луч, формирующий $30^\circ$ с AB.)
4. Пусть луч AC пересечет прямую BP в точке P. Тогда треугольник ABP является прямоугольным с прямым углом B. Угол $\angle BAP = 30^\circ$.
5. В прямоугольном треугольнике ABP, сторона BP, противолежащая углу $30^\circ$, равна $AB \cdot \tan(30^\circ) = d_{\text{min}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$. Эта длина BP является искомой длиной стороны $a$ правильного шестиугольника (которая также является радиусом описанной окружности $R$).
6. Постройте окружность с центром в произвольной точке O и радиусом, равным отрезку BP (т.е. $R=a$).
7. Отметьте на окружности произвольную точку $V_1$.
8. Используя циркуль, отложите от точки $V_1$ по окружности 5 раз отрезок, равный радиусу $R$ (или стороне $a$). Это даст точки $V_2, V_3, V_4, V_5, V_6$.
9. Соедините последовательно точки $V_1, V_2, ..., V_6$ отрезками. Полученный многоугольник является правильным шестиугольником.

Ответ: Правильный шестиугольник построен.

б) $n=8$

Дано: Дан отрезок, равный длине меньшей диагонали $d_{\text{min}}$ правильного восьмиугольника.

Найти: Построить правильный восьмиугольник.

Решение:

Для правильного восьмиугольника ($n=8$) меньшая диагональ $d_{\text{min}}$ соединяет вершины через одну, например, $V_1$ и $V_3$. Длина этой диагонали выражается как $d_{\text{min}} = 2R \sin(\frac{2\pi}{8}) = 2R \sin(\frac{\pi}{4}) = 2R \frac{\sqrt{2}}{2} = R\sqrt{2}$. Следовательно, радиус описанной окружности $R = \frac{d_{\text{min}}}{\sqrt{2}}$.

Для построения отрезка длиной $R = \frac{d_{\text{min}}}{\sqrt{2}}$ по данному отрезку $d_{\text{min}}$ можно использовать следующую процедуру, основанную на построении равнобедренного прямоугольного треугольника:

1. Начертите произвольную прямую и отметьте на ней точку A. Отложите от точки A отрезок AB, равный $d_{\text{min}}$.
2. Найдите середину отрезка AB. (Для этого из A и B проведите дуги одинакового радиуса больше половины AB, так чтобы они пересеклись с двух сторон от AB. Соедините точки пересечения прямой. Эта прямая пересечет AB в его середине.) Пусть середина будет точкой O.
3. Постройте окружность с центром в точке O и радиусом OA (или OB). Отрезок AB будет диаметром этой окружности.
4. Постройте прямую, перпендикулярную отрезку AB и проходящую через точку O. Эта прямая пересечет окружность в двух точках, например, C и D.
5. Рассмотрим треугольник ACB. Угол $\angle ACB$ равен $90^\circ$, так как он вписан в полуокружность и опирается на диаметр AB. Поскольку C лежит на перпендикуляре к AB, проходящем через его середину O, $AC = BC$. Таким образом, треугольник ACB является равнобедренным прямоугольным треугольником.
6. Длина катета AC (или BC) равна $\frac{AB}{\sqrt{2}} = \frac{d_{\text{min}}}{\sqrt{2}}$. Эта длина AC является искомым радиусом $R$ описанной окружности правильного восьмиугольника.

Теперь, имея радиус $R$, построим правильный восьмиугольник:

7. Постройте окружность с центром в произвольной точке $O_c$ и радиусом, равным отрезку AC (т.е. $R$).
8. Проведите через центр $O_c$ два взаимно перпендикулярных диаметра. Например, один горизонтальный и один вертикальный. Эти диаметры пересекут окружность в четырех точках, которые будут первыми четырьмя вершинами восьмиугольника.
9. Постройте биссектрисы четырех прямых углов, образованных этими диаметрами в центре $O_c$. (Для этого из $O_c$ проведите дугу, пересекающую оба диаметра, затем из точек пересечения проведите дуги одинакового радиуса, их пересечение даст точку, через которую проходит биссектриса угла.) Эти биссектрисы также будут диаметрами.
10. Биссектрисы пересекут окружность в оставшихся четырех точках, которые будут другими четырьмя вершинами восьмиугольника.
11. Соедините последовательно все 8 вершин отрезками. Полученный многоугольник является правильным восьмиугольником.

Ответ: Правильный восьмиугольник построен.

341. а) Периметр правильного шестиугольника равен $12\sqrt{2}$ см. Найдите его площадь.

б) К Ажар пришли друзья Арман и Анар с тортом квадратной формы. Как можно разделить этот торт поровну между ними, чтобы каждый получил по два куска? Приведите два решения задачи.

в) Найдите наибольший и наименьший размеры стороны квадратной скатерти для круглого казахского стола (рисунок 188), чтобы скатерть полностью покрывала стол и при этом не касалась пола, если высота стола равна 40 см, а диаметр его крышки – 140 см.

Рисунок 188

а) Периметр правильного шестиугольника равен $12\sqrt{2}$ см. Найдите его площадь.

Дано:

Периметр правильного шестиугольника $P = 12\sqrt{2}$ см

Перевод в СИ:

$P = 12\sqrt{2} \cdot 10^{-2}$ м

Найти:

Площадь правильного шестиугольника $S$

Решение:

Правильный шестиугольник имеет 6 равных сторон. Обозначим длину стороны $a$.

Периметр правильного шестиугольника равен $P = 6a$.

Отсюда найдем сторону $a$:

$a = \frac{P}{6} = \frac{12\sqrt{2}}{6} = 2\sqrt{2}$ см

Площадь правильного шестиугольника можно найти по формуле:

$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$

Подставим значение стороны $a$:

$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} (2\sqrt{2})^2$

$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} (4 \cdot 2)$

$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 8$

$S = 3\sqrt{3} \cdot 4$

$S = 12\sqrt{3}$ см$^2$

Ответ: $12\sqrt{3}$ см$^2$

б) К Ажар пришли друзья Арман и Анар с тортом квадратной формы. Как можно разделить этот торт поровну между ними, чтобы каждый получил по два куска? Приведите два решения задачи.

Дано:

Квадратный торт. Всего 3 человека (Ажар, Арман, Анар).

Каждый должен получить по два куска.

Найти:

Два способа разделения торта.

Решение:

Всего 3 человека. Если каждый должен получить по два куска, то общее количество кусков должно быть $3 \times 2 = 6$. Для того чтобы торт был разделен поровну, все 6 кусков должны быть одинаковыми по площади.

Первое решение:

Торт можно разделить на 6 одинаковых прямоугольных кусков. Для этого необходимо сделать 5 параллельных разрезов, которые делят одну из сторон квадрата на 6 равных частей. Например, если сторона квадрата $L$, то разрезы проводятся параллельно одной стороне на расстоянии $L/6, 2L/6, \dots, 5L/6$ от края. В результате получаются 6 прямоугольников размером $L \times (L/6)$. Каждый из трех человек получает по два таких куска.

Второе решение:

Торт можно сначала разделить на 3 равные части двумя параллельными разрезами. Например, разделить квадрат на 3 горизонтальные полосы размером $L \times (L/3)$. Затем каждую из этих трех полос разделить пополам одним перпендикулярным разрезом, проходящим через середину каждой полосы. Например, вертикальный разрез на расстоянии $L/2$ от бокового края. В итоге получается 6 одинаковых прямоугольных кусков размером $(L/2) \times (L/3)$. Каждый из трех человек получает по два таких куска.

Ответ:

1. Разделить торт на 6 равных прямоугольных кусков, сделав 5 параллельных разрезов.

2. Разделить торт на 3 равные части двумя параллельными разрезами. Затем каждую из этих 3 частей разделить пополам одним перпендикулярным разрезом.

в) Найдите наибольший и наименьший размеры стороны квадратной скатерти для круглого казахского стола (рисунок 188), чтобы скатерть полностью покрывала стол и при этом не касалась пола, если высота стола равна 40 см, а диаметр его крышки – 140 см.

Дано:

Высота стола $h = 40$ см

Диаметр крышки стола $D = 140$ см

Перевод в СИ:

$h = 40$ см $= 0.4$ м

$D = 140$ см $= 1.4$ м

Радиус крышки стола $R = D/2 = 140/2 = 70$ см $= 0.7$ м

Найти:

Наименьший размер стороны квадратной скатерти $a_{min}$

Наибольший размер стороны квадратной скатерти $a_{max}$

Решение:

Наименьший размер стороны скатерти ($a_{min}$):

Чтобы квадратная скатерть полностью покрывала круглую крышку стола, ее сторона должна быть не меньше диаметра крышки стола. В этом случае, круг будет вписан в квадрат, и скатерть будет лежать ровно на столе, не свисая. Таким образом, наименьшая сторона скатерти равна диаметру стола:

$a_{min} = D$

$a_{min} = 140$ см

Наибольший размер стороны скатерти ($a_{max}$):

Чтобы скатерть не касалась пола, ее самая нижняя точка (углы скатерти) должна находиться выше уровня пола. Предполагается, что скатерть лежит по центру стола.

Расстояние от центра квадратной скатерти до ее угла равно половине ее диагонали. Если сторона скатерти равна $a$, то ее диагональ равна $a\sqrt{2}$. Следовательно, расстояние от центра до угла равно $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Часть скатерти, которая свисает за пределы круглой крышки стола (по диагонали), определяется как разность между расстоянием от центра до угла скатерти и радиусом крышки стола. Эта часть скатерти свисает вниз.

Длина свисающей части скатерти (по диагонали): $L_{свисания} = \frac{a\sqrt{2}}{2} - R$

Для того чтобы скатерть не касалась пола, эта свисающая длина должна быть строго меньше высоты стола $h$. (Если равна, то коснется пола).

$\frac{a\sqrt{2}}{2} - R < h$

Перенесем $R$ в правую часть неравенства:

$\frac{a\sqrt{2}}{2} < h + R$

Умножим обе части на 2:

$a\sqrt{2} < 2(h+R)$

Разделим обе части на $\sqrt{2}$:

$a < \frac{2(h+R)}{\sqrt{2}}$

$a < \sqrt{2}(h+R)$

Наибольший допустимый размер стороны скатерти $a_{max}$ будет равен значению, при котором скатерть максимально близко подходит к полу, но не касается его. То есть, мы берем верхний предел неравенства.

$a_{max} = \sqrt{2}(h+R)$

Подставим заданные значения $h=40$ см и $R=70$ см:

$a_{max} = \sqrt{2}(40 \text{ см} + 70 \text{ см})$

$a_{max} = \sqrt{2}(110 \text{ см})$

$a_{max} = 110\sqrt{2}$ см

Приблизительное значение: $110 \times 1.4142 \approx 155.56$ см.

Ответ:

Наименьший размер стороны: $a_{min} = 140$ см

Наибольший размер стороны: $a_{max} = 110\sqrt{2}$ см

342. Площадь правильного треугольника равна $4\sqrt{3} \text{ см}^2$. Вычислите радиус окружности:
a) описанной около треугольника;
б) вписанной в данный треугольник.

Дано:

Правильный треугольник

Площадь $S = 4\sqrt{3}$ см$^2$

Перевод в СИ:

$S = 4\sqrt{3}$ см$^2 = 4\sqrt{3} \times (10^{-2} \text{ м})^2 = 4\sqrt{3} \times 10^{-4}$ м$^2$.

Найти:

а) Радиус описанной окружности $R$.

б) Радиус вписанной окружности $r$.

Решение:

Для начала найдем сторону $a$ правильного (равностороннего) треугольника. Формула для площади правильного треугольника: $S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Подставим известное значение площади $S = 4\sqrt{3}$ см$^2$:

$4\sqrt{3} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Умножим обе части уравнения на $4$:

$16\sqrt{3} = a^2 \sqrt{3}$

Разделим обе части на $\sqrt{3}$:

$16 = a^2$

Извлечем квадратный корень:

$a = \sqrt{16}$

$a = 4$ см.

а) описанной около треугольника;

Для правильного треугольника радиус описанной окружности $R$ связан со стороной $a$ формулой:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставим найденное значение стороны $a = 4$ см:

$R = \frac{4}{\sqrt{3}}$ см

Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$R = \frac{4 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $R = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.

б) вписанной в данный треугольник.

Для правильного треугольника радиус вписанной окружности $r$ связан со стороной $a$ формулой:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Подставим найденное значение стороны $a = 4$ см:

$r = \frac{4}{2\sqrt{3}}$

$r = \frac{2}{\sqrt{3}}$ см.

Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$r = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

Также можно воспользоваться свойством правильного треугольника, что радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности: $R = 2r$.

Тогда $r = \frac{R}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $r = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

Постройте окружность и опишите около нее четырехугольник, не являющийся ромбом или трапецией. Измерьте его стороны и радиус окружности. Установите зависимость между площадью построенного четырехугольника, его периметром и радиусом вписанной окружности.

Постройте окружность и опишите около нее четырехугольник, не являющийся ромбом или трапецией.

Для выполнения этого шага, необходимо сначала начертить окружность. Затем следует провести четыре касательные к этой окружности, таким образом, чтобы они пересеклись и образовали четырехугольник. Чтобы гарантировать, что полученный четырехугольник не является ни ромбом (то есть не все стороны равны), ни трапецией (то есть нет параллельных сторон), следует тщательно выбирать углы наклона касательных. Например, можно построить иррегулярный четырехугольник, у которого суммы противоположных сторон равны (это является необходимым и достаточным условием для существования вписанной окружности, согласно теореме Пиотта), но при этом ни одна пара сторон не параллельна и не все стороны равны между собой. Это обеспечивает создание общего тангенциального четырехугольника, удовлетворяющего условиям задачи.

Ответ: Описан концептуальный метод построения четырехугольника, соответствующего заданным условиям.

Измерьте его стороны и радиус окружности.

Предположим, что мы выполнили построение, описанное выше, и произвели необходимые измерения. Пусть длины сторон построенного четырехугольника будут обозначены как $a, b, c, d$. Радиус вписанной окружности, которую мы построили, обозначим как $r$. В условиях реального практического задания эти измерения выполняются с помощью измерительных инструментов, таких как линейка и циркуль.

Ответ: Предполагается, что измерены длины сторон четырехугольника ($a, b, c, d$) и радиус вписанной окружности ($r$).

Установите зависимость между площадью построенного четырехугольника, его периметром и радиусом вписанной окружности.

Дано:

Окружность с центром $O$ и радиусом $r$.

Четырехугольник $ABCD$, описанный около данной окружности (то есть, все его стороны касаются окружности).

Условие: Четырехугольник $ABCD$ не является ромбом и не является трапецией.

Найти:

Зависимость между площадью четырехугольника $S_{ABCD}$, его периметром $P_{ABCD}$ и радиусом вписанной окружности $r$.

Решение:

Рассмотрим произвольный описанный четырехугольник $ABCD$ со сторонами $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$, $DA=d$. Пусть $O$ — центр вписанной окружности, а $r$ — ее радиус.

Площадь четырехугольника $S_{ABCD}$ можно найти, разбив его на четыре треугольника, соединив вершины четырехугольника с центром вписанной окружности $O$. Эти треугольники: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$, $\triangle DOA$.

Высота каждого из этих треугольников, опущенная из центра $O$ на соответствующую сторону, равна радиусу $r$ вписанной окружности. Это следует из того, что стороны четырехугольника являются касательными к окружности, а радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Площадь каждого треугольника вычисляется по стандартной формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

Таким образом, площади треугольников будут:

• $S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot r = \frac{1}{2} a r$

• $S_{BOC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot r = \frac{1}{2} b r$

• $S_{COD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot r = \frac{1}{2} c r$

• $S_{DOA} = \frac{1}{2} \cdot DA \cdot r = \frac{1}{2} d r$

Общая площадь четырехугольника $S_{ABCD}$ является суммой площадей этих четырех треугольников:

$S_{ABCD} = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COD} + S_{DOA}$

$S_{ABCD} = \frac{1}{2} a r + \frac{1}{2} b r + \frac{1}{2} c r + \frac{1}{2} d r$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2} r$ за скобки:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2} r (a + b + c + d)$

Периметр четырехугольника $P_{ABCD}$ — это сумма длин всех его сторон:

$P_{ABCD} = a + b + c + d$

Подставив выражение для периметра в формулу площади, получаем искомую зависимость:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2} r P_{ABCD}$

Ответ:

Зависимость между площадью $S_{ABCD}$, периметром $P_{ABCD}$ описанного четырехугольника и радиусом $r$ вписанной окружности выражается формулой:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2} P_{ABCD} r$