Практическое задание, страница 153 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

Постройте окружность и опишите около нее четырехугольник, не являющийся ромбом или трапецией. Измерьте его стороны и радиус окружности. Установите зависимость между площадью построенного четырехугольника, его периметром и радиусом вписанной окружности.

Постройте окружность и опишите около нее четырехугольник, не являющийся ромбом или трапецией.

Для выполнения этого шага, необходимо сначала начертить окружность. Затем следует провести четыре касательные к этой окружности, таким образом, чтобы они пересеклись и образовали четырехугольник. Чтобы гарантировать, что полученный четырехугольник не является ни ромбом (то есть не все стороны равны), ни трапецией (то есть нет параллельных сторон), следует тщательно выбирать углы наклона касательных. Например, можно построить иррегулярный четырехугольник, у которого суммы противоположных сторон равны (это является необходимым и достаточным условием для существования вписанной окружности, согласно теореме Пиотта), но при этом ни одна пара сторон не параллельна и не все стороны равны между собой. Это обеспечивает создание общего тангенциального четырехугольника, удовлетворяющего условиям задачи.

Ответ: Описан концептуальный метод построения четырехугольника, соответствующего заданным условиям.

Измерьте его стороны и радиус окружности.

Предположим, что мы выполнили построение, описанное выше, и произвели необходимые измерения. Пусть длины сторон построенного четырехугольника будут обозначены как $a, b, c, d$. Радиус вписанной окружности, которую мы построили, обозначим как $r$. В условиях реального практического задания эти измерения выполняются с помощью измерительных инструментов, таких как линейка и циркуль.

Ответ: Предполагается, что измерены длины сторон четырехугольника ($a, b, c, d$) и радиус вписанной окружности ($r$).

Установите зависимость между площадью построенного четырехугольника, его периметром и радиусом вписанной окружности.

Дано:

Окружность с центром $O$ и радиусом $r$.

Четырехугольник $ABCD$, описанный около данной окружности (то есть, все его стороны касаются окружности).

Условие: Четырехугольник $ABCD$ не является ромбом и не является трапецией.

Найти:

Зависимость между площадью четырехугольника $S_{ABCD}$, его периметром $P_{ABCD}$ и радиусом вписанной окружности $r$.

Решение:

Рассмотрим произвольный описанный четырехугольник $ABCD$ со сторонами $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$, $DA=d$. Пусть $O$ — центр вписанной окружности, а $r$ — ее радиус.

Площадь четырехугольника $S_{ABCD}$ можно найти, разбив его на четыре треугольника, соединив вершины четырехугольника с центром вписанной окружности $O$. Эти треугольники: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$, $\triangle DOA$.

Высота каждого из этих треугольников, опущенная из центра $O$ на соответствующую сторону, равна радиусу $r$ вписанной окружности. Это следует из того, что стороны четырехугольника являются касательными к окружности, а радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Площадь каждого треугольника вычисляется по стандартной формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

Таким образом, площади треугольников будут:

• $S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot r = \frac{1}{2} a r$

• $S_{BOC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot r = \frac{1}{2} b r$

• $S_{COD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot r = \frac{1}{2} c r$

• $S_{DOA} = \frac{1}{2} \cdot DA \cdot r = \frac{1}{2} d r$

Общая площадь четырехугольника $S_{ABCD}$ является суммой площадей этих четырех треугольников:

$S_{ABCD} = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COD} + S_{DOA}$

$S_{ABCD} = \frac{1}{2} a r + \frac{1}{2} b r + \frac{1}{2} c r + \frac{1}{2} d r$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2} r$ за скобки:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2} r (a + b + c + d)$

Периметр четырехугольника $P_{ABCD}$ — это сумма длин всех его сторон:

$P_{ABCD} = a + b + c + d$

Подставив выражение для периметра в формулу площади, получаем искомую зависимость:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2} r P_{ABCD}$

Ответ:

Зависимость между площадью $S_{ABCD}$, периметром $P_{ABCD}$ описанного четырехугольника и радиусом $r$ вписанной окружности выражается формулой:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2} P_{ABCD} r$