Номер 348, страница 158 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

348. Найдите с точностью до $0.1 \, \text{cm}^2$ площадь правильного:

а) девятиугольника, если радиус описанной около него окружности равен $2 \, \text{cm}$;

б) десятиугольника, если радиус описанной около него окружности равен $4 \, \text{cm}$.

а) девятиугольника, если радиус описанной около него окружности равен 2 см

Дано:

Количество сторон $n = 9$

Радиус описанной окружности $R = 2 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$R = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Площадь $S$

Решение:

Площадь правильного $n$-угольника, описанного около окружности радиуса $R$, вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2} n R^2 \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)$

Для девятиугольника ($n=9$):

$S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot (2 \text{ см})^2 \cdot \sin\left(\frac{360^\circ}{9}\right)$

$S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 4 \text{ см}^2 \cdot \sin(40^\circ)$

$S = 18 \text{ см}^2 \cdot \sin(40^\circ)$

Используя значение $\sin(40^\circ) \approx 0.6427876$:

$S \approx 18 \text{ см}^2 \cdot 0.6427876$

$S \approx 11.5701768 \text{ см}^2$

Округляем до 0,1 см$^2$: $S \approx 11.6 \text{ см}^2$.

Ответ: $11.6 \text{ см}^2$

б) десятиугольника, если радиус описанной около него окружности равен 4 см

Дано:

Количество сторон $n = 10$

Радиус описанной окружности $R = 4 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$R = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

Найти:

Площадь $S$

Решение:

Площадь правильного $n$-угольника, описанного около окружности радиуса $R$, вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2} n R^2 \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)$

Для десятиугольника ($n=10$):

$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot (4 \text{ см})^2 \cdot \sin\left(\frac{360^\circ}{10}\right)$

$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 16 \text{ см}^2 \cdot \sin(36^\circ)$

$S = 80 \text{ см}^2 \cdot \sin(36^\circ)$

Используя значение $\sin(36^\circ) \approx 0.58778525$:

$S \approx 80 \text{ см}^2 \cdot 0.58778525$

$S \approx 47.02282 \text{ см}^2$

Округляем до 0,1 см$^2$: $S \approx 47.0 \text{ см}^2$.

Ответ: $47.0 \text{ см}^2$