Номер 352, страница 161 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

27. Длина окружности и ее дуги. IV. Окружность. Многоугольники - номер 352, страница 161.

Условие.

352. Диаметр данной окружности разделен на три равных отрезка, которые являются диаметрами трех других окружностей. Докажите, что сумма длин этих окружностей равна длине данной окружности.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Данная окружность с диаметром $D$.

Диаметр $D$ разделен на три равных отрезка. Каждый из этих отрезков является диаметром одной из трех других окружностей. Обозначим диаметры этих трех окружностей как $d_1, d_2, d_3$.

По условию задачи, $d_1 = d_2 = d_3$, и $D = d_1 + d_2 + d_3$.

Следовательно, $D = 3d_1$, откуда $d_1 = d_2 = d_3 = \frac{D}{3}$.

Найти:

Доказать, что сумма длин этих трех окружностей равна длине данной окружности.

Обозначим длину данной окружности как $C$, а длины трех меньших окружностей как $C_1, C_2, C_3$. Необходимо доказать, что $C_1 + C_2 + C_3 = C$.

Решение:

Длина окружности (ее периметр) вычисляется по формуле $L = \pi d$, где $d$ - диаметр окружности.

Найдем длину данной (большой) окружности $C$:

$C = \pi D$

Теперь найдем длины каждой из трех меньших окружностей. Диаметр каждой из них равен $d_1 = d_2 = d_3 = \frac{D}{3}$.

Длина первой меньшей окружности $C_1$:

$C_1 = \pi d_1 = \pi \left( \frac{D}{3} \right)$

Длина второй меньшей окружности $C_2$:

$C_2 = \pi d_2 = \pi \left( \frac{D}{3} \right)$

Длина третьей меньшей окружности $C_3$:

$C_3 = \pi d_3 = \pi \left( \frac{D}{3} \right)$

Найдем сумму длин этих трех меньших окружностей:

$S = C_1 + C_2 + C_3$

$S = \pi \frac{D}{3} + \pi \frac{D}{3} + \pi \frac{D}{3}$

Вынесем общий множитель $\pi \frac{D}{3}$ за скобки:

$S = 3 \cdot \left( \pi \frac{D}{3} \right)$

Сократим тройки:

$S = \pi D$

Мы видим, что сумма длин трех меньших окружностей $S = \pi D$, что в точности равно длине данной (большой) окружности $C = \pi D$.

Ответ:

Доказано, что сумма длин трех окружностей, диаметры которых образуют равные части диаметра данной окружности, равна длине данной окружности.