Номер 352, страница 161 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

352. Диаметр данной окружности разделен на три равных отрезка, которые являются диаметрами трех других окружностей. Докажите, что сумма длин этих окружностей равна длине данной окружности.

Дано:

Данная окружность с диаметром $D$.

Диаметр $D$ разделен на три равных отрезка. Каждый из этих отрезков является диаметром одной из трех других окружностей. Обозначим диаметры этих трех окружностей как $d_1, d_2, d_3$.

По условию задачи, $d_1 = d_2 = d_3$, и $D = d_1 + d_2 + d_3$.

Следовательно, $D = 3d_1$, откуда $d_1 = d_2 = d_3 = \frac{D}{3}$.

Найти:

Доказать, что сумма длин этих трех окружностей равна длине данной окружности.

Обозначим длину данной окружности как $C$, а длины трех меньших окружностей как $C_1, C_2, C_3$. Необходимо доказать, что $C_1 + C_2 + C_3 = C$.

Решение:

Длина окружности (ее периметр) вычисляется по формуле $L = \pi d$, где $d$ - диаметр окружности.

Найдем длину данной (большой) окружности $C$:

$C = \pi D$

Теперь найдем длины каждой из трех меньших окружностей. Диаметр каждой из них равен $d_1 = d_2 = d_3 = \frac{D}{3}$.

Длина первой меньшей окружности $C_1$:

$C_1 = \pi d_1 = \pi \left( \frac{D}{3} \right)$

Длина второй меньшей окружности $C_2$:

$C_2 = \pi d_2 = \pi \left( \frac{D}{3} \right)$

Длина третьей меньшей окружности $C_3$:

$C_3 = \pi d_3 = \pi \left( \frac{D}{3} \right)$

Найдем сумму длин этих трех меньших окружностей:

$S = C_1 + C_2 + C_3$

$S = \pi \frac{D}{3} + \pi \frac{D}{3} + \pi \frac{D}{3}$

Вынесем общий множитель $\pi \frac{D}{3}$ за скобки:

$S = 3 \cdot \left( \pi \frac{D}{3} \right)$

Сократим тройки:

$S = \pi D$

Мы видим, что сумма длин трех меньших окружностей $S = \pi D$, что в точности равно длине данной (большой) окружности $C = \pi D$.

Ответ:

Доказано, что сумма длин трех окружностей, диаметры которых образуют равные части диаметра данной окружности, равна длине данной окружности.