Номер 358, страница 162 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

диус равным 5 370 км.

358. Найдите длину окружности, описанной около:

а) равнобедренного треугольника с основанием 12 см и углом $30^\circ$ при основании;

б) равнобедренной трапеции с диагональю 9 см и углом $60^\circ$ при большем основании.

а) равнобедренного треугольника с основанием 12 см и углом 30° при основании

Дано:

Основание треугольника $a = 12$ см

Угол при основании $\alpha = 30^\circ$

Перевод в СИ:

$a = 12$ см $= 0.12$ м

Найти:

Длину окружности $C$

Решение:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны ($\alpha = 30^\circ$). Сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$.

Поэтому, угол при вершине (противолежащий основанию) $\beta$ равен:

$\beta = 180^\circ - (2 \times \alpha) = 180^\circ - (2 \times 30^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Радиус $R$ описанной окружности для треугольника можно найти, используя теорему синусов:

$R = \frac{a}{2\sin \beta}$

Где $a$ - основание треугольника, а $\beta$ - угол, противолежащий этому основанию.

Подставляем известные значения:

$R = \frac{12}{2\sin 120^\circ}$

Значение $\sin 120^\circ$ равно $\sin (180^\circ - 60^\circ)$, что равно $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$R = \frac{12}{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}}$

Для упрощения выражения умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$R = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см

Длина окружности $C$ вычисляется по формуле:

$C = 2\pi R$

Подставляем найденное значение радиуса $R$:

$C = 2\pi (4\sqrt{3}) = 8\pi\sqrt{3}$ см

Ответ: $8\pi\sqrt{3}$ см

б) равнобедренной трапеции с диагональю 9 см и углом 60° при большем основании

Дано:

Диагональ трапеции $d = 9$ см

Угол при большем основании $\delta = 60^\circ$

Перевод в СИ:

$d = 9$ см $= 0.09$ м

Найти:

Длину окружности $C$

Решение:

Вокруг любой равнобедренной трапеции всегда можно описать окружность.

Радиус $R$ описанной окружности для равнобедренной трапеции совпадает с радиусом окружности, описанной вокруг любого треугольника, образованного тремя вершинами этой трапеции. Пусть трапеция ABCD, где AD - большее основание, BC - меньшее основание, AB = CD - боковые стороны. Диагонали равнобедренной трапеции равны: $AC = BD = 9$ см.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. В этом треугольнике известна сторона $BD = 9$ см (диагональ) и противолежащий ей угол $\angle BAD = 60^\circ$ (угол при большем основании).

Используем теорему синусов для нахождения радиуса $R$ описанной окружности для $\triangle ABD$ (который является радиусом описанной окружности трапеции):

$R = \frac{BD}{2\sin(\angle BAD)}$

Подставляем известные значения:

$R = \frac{9}{2\sin 60^\circ}$

Значение $\sin 60^\circ$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$R = \frac{9}{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{9}{\sqrt{3}}$

Для упрощения выражения умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$R = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$ см

Длина окружности $C$ вычисляется по формуле:

$C = 2\pi R$

Подставляем найденное значение радиуса $R$:

$C = 2\pi (3\sqrt{3}) = 6\pi\sqrt{3}$ см

Ответ: $6\pi\sqrt{3}$ см