Страница 162 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

356.

а) Окружность длиной $6 \text{ см}$ развернули в дугу окружности радиусом $5 \text{ см}$. Найдите градусную меру этой дуги.

б) Дуга радиусом $4 \text{ см}$ и градусной мерой $120^\circ$ равна длине некоторой окружности. Найдите радиус этой окружности.

а) Окружность длиной 6 см развернули в дугу окружности радиусом 5 см. Найдите градусную меру этой дуги.

Дано:

Длина дуги $L_{\text{дуги}} = 6 \text{ см}$

Радиус окружности, на которой лежит дуга $R = 5 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$L_{\text{дуги}} = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$R = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Градусная мера дуги $\alpha$

Решение:

Длина дуги окружности может быть найдена по формуле: $L_{\text{дуги}} = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$, где $\alpha$ - градусная мера дуги.

Из этой формулы выразим $\alpha$:

$\alpha = \frac{L_{\text{дуги}} \cdot 180^\circ}{\pi R}$

Подставим известные значения:

$\alpha = \frac{6 \text{ см} \cdot 180^\circ}{\pi \cdot 5 \text{ см}}$

$\alpha = \frac{1080^\circ}{5\pi}$

$\alpha = \frac{216^\circ}{\pi}$

Ответ: $\alpha = \frac{216}{\pi}^\circ$

б) Дуга радиусом 4 см и градусной мерой 120° равна длине некоторой окружности. Найдите радиус этой окружности.

Дано:

Радиус дуги $R_{\text{дуги}} = 4 \text{ см}$

Градусная мера дуги $\alpha = 120^\circ$

Длина дуги $L_{\text{дуги}}$ равна длине окружности $C_{\text{окр}}$

Перевод в СИ:

$R_{\text{дуги}} = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

$\alpha = 120^\circ$

Найти:

Радиус окружности $R_{\text{окр}}$

Решение:

Сначала найдем длину дуги по формуле: $L_{\text{дуги}} = \frac{\pi R_{\text{дуги}} \alpha}{180^\circ}$

Подставим известные значения:

$L_{\text{дуги}} = \frac{\pi \cdot 4 \text{ см} \cdot 120^\circ}{180^\circ}$

$L_{\text{дуги}} = \frac{480\pi}{180} \text{ см}$

$L_{\text{дуги}} = \frac{8\pi}{3} \text{ см}$

По условию задачи, длина этой дуги равна длине некоторой окружности. Длина окружности вычисляется по формуле $C_{\text{окр}} = 2\pi R_{\text{окр}}$.

Приравниваем эти две величины:

$L_{\text{дуги}} = C_{\text{окр}}$

$\frac{8\pi}{3} = 2\pi R_{\text{окр}}$

Теперь выразим $R_{\text{окр}}$:

$R_{\text{окр}} = \frac{8\pi}{3 \cdot 2\pi}$

$R_{\text{окр}} = \frac{8}{6}$

$R_{\text{окр}} = \frac{4}{3} \text{ см}$

Ответ: $R_{\text{окр}} = \frac{4}{3} \text{ см}$

357. Найдите длину дуги в $1^{\circ}$ экватора Земли, принимая его радиус равным 6 370 км.

Дано:

$R = 6370 \text{ км}$ (радиус экватора Земли)

$\alpha = 1^{\circ}$ (угол дуги)

Перевод в систему СИ:

$R = 6370 \times 10^3 \text{ м} = 6.37 \times 10^6 \text{ м}$

$\alpha = 1^{\circ} = 1 \cdot \frac{\pi}{180} \text{ рад}$

Найти:

$L$ (длина дуги экватора)

Решение:

Длина дуги окружности может быть найдена по формуле:

$L = R \cdot \alpha_{рад}$, где $R$ — радиус окружности, а $\alpha_{рад}$ — угол дуги в радианах. Для использования этой формулы необходимо перевести угол из градусов в радианы.

Также можно использовать пропорцию, зная, что полная окружность Земли (экватор) соответствует углу в $360^{\circ}$. Длина всей окружности $C$ вычисляется по формуле:

$C = 2 \pi R$

Длина дуги $L$ для угла $\alpha$ будет составлять часть от общей длины окружности, равную отношению $\alpha$ к $360^{\circ}$:

$L = C \cdot \frac{\alpha}{360^{\circ}}$

Подставим формулу для $C$ в выражение для $L$:

$L = 2 \pi R \cdot \frac{\alpha}{360^{\circ}}$

Упростим полученное выражение:

$L = \frac{\pi R \alpha}{180^{\circ}}$

Теперь подставим числовые значения. Используем радиус в километрах, чтобы получить ответ сразу в километрах. Значение $\pi$ возьмем с достаточной точностью:

$L = \frac{3.1415926535 \cdot 6370 \text{ км} \cdot 1^{\circ}}{180^{\circ}}$

$L \approx \frac{20015.6101}{180} \text{ км}$

$L \approx 111.19783 \text{ км}$

Округлим результат до одного знака после запятой, что соответствует стандартной точности для подобных задач и количеству значащих цифр в исходных данных (6370 км имеет 4 значащие цифры).

Ответ:

Приблизительная длина дуги в $1^{\circ}$ экватора Земли составляет $111.2 \text{ км}$.

диус равным 5 370 км.

358. Найдите длину окружности, описанной около:

а) равнобедренного треугольника с основанием 12 см и углом $30^\circ$ при основании;

б) равнобедренной трапеции с диагональю 9 см и углом $60^\circ$ при большем основании.

а) равнобедренного треугольника с основанием 12 см и углом 30° при основании

Дано:

Основание треугольника $a = 12$ см

Угол при основании $\alpha = 30^\circ$

Перевод в СИ:

$a = 12$ см $= 0.12$ м

Найти:

Длину окружности $C$

Решение:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны ($\alpha = 30^\circ$). Сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$.

Поэтому, угол при вершине (противолежащий основанию) $\beta$ равен:

$\beta = 180^\circ - (2 \times \alpha) = 180^\circ - (2 \times 30^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Радиус $R$ описанной окружности для треугольника можно найти, используя теорему синусов:

$R = \frac{a}{2\sin \beta}$

Где $a$ - основание треугольника, а $\beta$ - угол, противолежащий этому основанию.

Подставляем известные значения:

$R = \frac{12}{2\sin 120^\circ}$

Значение $\sin 120^\circ$ равно $\sin (180^\circ - 60^\circ)$, что равно $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$R = \frac{12}{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}}$

Для упрощения выражения умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$R = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см

Длина окружности $C$ вычисляется по формуле:

$C = 2\pi R$

Подставляем найденное значение радиуса $R$:

$C = 2\pi (4\sqrt{3}) = 8\pi\sqrt{3}$ см

Ответ: $8\pi\sqrt{3}$ см

б) равнобедренной трапеции с диагональю 9 см и углом 60° при большем основании

Дано:

Диагональ трапеции $d = 9$ см

Угол при большем основании $\delta = 60^\circ$

Перевод в СИ:

$d = 9$ см $= 0.09$ м

Найти:

Длину окружности $C$

Решение:

Вокруг любой равнобедренной трапеции всегда можно описать окружность.

Радиус $R$ описанной окружности для равнобедренной трапеции совпадает с радиусом окружности, описанной вокруг любого треугольника, образованного тремя вершинами этой трапеции. Пусть трапеция ABCD, где AD - большее основание, BC - меньшее основание, AB = CD - боковые стороны. Диагонали равнобедренной трапеции равны: $AC = BD = 9$ см.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. В этом треугольнике известна сторона $BD = 9$ см (диагональ) и противолежащий ей угол $\angle BAD = 60^\circ$ (угол при большем основании).

Используем теорему синусов для нахождения радиуса $R$ описанной окружности для $\triangle ABD$ (который является радиусом описанной окружности трапеции):

$R = \frac{BD}{2\sin(\angle BAD)}$

Подставляем известные значения:

$R = \frac{9}{2\sin 60^\circ}$

Значение $\sin 60^\circ$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$R = \frac{9}{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{9}{\sqrt{3}}$

Для упрощения выражения умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$R = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$ см

Длина окружности $C$ вычисляется по формуле:

$C = 2\pi R$

Подставляем найденное значение радиуса $R$:

$C = 2\pi (3\sqrt{3}) = 6\pi\sqrt{3}$ см

Ответ: $6\pi\sqrt{3}$ см

при большем основании.

359. Найдите длину окружности:

а) вписанной в прямоугольный треугольник, катеты которого равны 12 см и 9 см;

б) описанной около прямоугольного треугольника, периметр которого равен 28 см, а площадь $48 \text{ см}^2$.

Дано:

а) Прямоугольный треугольник, катеты $a = 12 \text{ см}$, $b = 9 \text{ см}$.

б) Прямоугольный треугольник, периметр $P = 28 \text{ см}$, площадь $S = 48 \text{ см}^2$.

Перевод в СИ:

а) $a = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$, $b = 9 \text{ см} = 0.09 \text{ м}$.

б) $P = 28 \text{ см} = 0.28 \text{ м}$, $S = 48 \text{ см}^2 = 0.0048 \text{ м}^2$.

Найти:

а) Длину окружности $C_a$ вписанной в треугольник.

б) Длину окружности $C_b$ описанной около треугольника.

Решение

а) вписанной в прямоугольный треугольник, катеты которого равны 12 см и 9 см;

Для нахождения длины окружности $C_a$ вписанной окружности, необходимо знать ее радиус $r$.

1. Найдем гипотенузу $c$ прямоугольного треугольника, используя теорему Пифагора:

$c^2 = a^2 + b^2$
$c^2 = (12 \text{ см})^2 + (9 \text{ см})^2$
$c^2 = 144 \text{ см}^2 + 81 \text{ см}^2$
$c^2 = 225 \text{ см}^2$
$c = \sqrt{225 \text{ см}^2} = 15 \text{ см}$

2. Найдем радиус $r$ вписанной окружности в прямоугольный треугольник по формуле:

$r = \frac{a + b - c}{2}$
$r = \frac{12 \text{ см} + 9 \text{ см} - 15 \text{ см}}{2}$
$r = \frac{21 \text{ см} - 15 \text{ см}}{2}$
$r = \frac{6 \text{ см}}{2} = 3 \text{ см}$

3. Вычислим длину окружности $C_a$ по формуле $C = 2\pi r$:

$C_a = 2\pi (3 \text{ см})$
$C_a = 6\pi \text{ см}$

Ответ: $6\pi \text{ см}$

б) описанной около прямоугольного треугольника, периметр которого равен 28 см, а площадь 48 см².

Для нахождения длины окружности $C_b$ описанной окружности, необходимо знать ее радиус $R$. Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.

1. Пусть катеты треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза $c$.

Из условия даны периметр $P$ и площадь $S$:

$P = a + b + c = 28 \text{ см}$
$S = \frac{1}{2}ab = 48 \text{ см}^2 \Rightarrow ab = 96 \text{ см}^2$

2. Используем теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$. Также известно, что $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$.

Из выражения для периметра найдем $a+b$:

$a+b = P - c = 28 - c$

Подставим $a+b$ и $ab$ в формулу $(a+b)^2$:

$(28 - c)^2 = c^2 + 2(96)$
$784 - 56c + c^2 = c^2 + 192$

Вычтем $c^2$ из обеих частей уравнения:

$784 - 56c = 192$
$56c = 784 - 192$
$56c = 592$
$c = \frac{592}{56}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 8:

$c = \frac{74}{7} \text{ см}$

3. Найдем радиус $R$ описанной окружности. Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности равен половине гипотенузы:

$R = \frac{c}{2}$
$R = \frac{74/7 \text{ см}}{2} = \frac{74}{14} \text{ см} = \frac{37}{7} \text{ см}$

4. Вычислим длину окружности $C_b$ по формуле $C = 2\pi R$:

$C_b = 2\pi \left(\frac{37}{7} \text{ см}\right)$
$C_b = \frac{74\pi}{7} \text{ см}$

Ответ: $\frac{74\pi}{7} \text{ см}$

360. Около окружности описана равнобедренная трапеция, периметр которой в два раза больше длины окружности. Найдите углы трапеции.

Дано:

Равнобедренная трапеция описана около окружности.

Периметр трапеции $P_{трапеции}$ в два раза больше длины окружности $L_{окружности}$.

То есть, $P_{трапеции} = 2L_{окружности}$.

Перевод в СИ:

Не требуется, так как задача касается геометрических соотношений и углов, а не конкретных физических величин с единицами измерения.

Найти:

Углы трапеции.

Решение:

Пусть основания равнобедренной трапеции будут $a$ и $b$, а боковые стороны — $c$. Поскольку трапеция равнобедренная, обе боковые стороны равны между собой.

Для четырехугольника, который описан около окружности, сумма длин противоположных сторон равна. В нашем случае для трапеции это означает:

$a + b = c + c = 2c$

Периметр трапеции $P_{трапеции}$ равен сумме всех ее сторон:

$P_{трапеции} = a + b + c + c$

Подставим $a + b = 2c$ в выражение для периметра:

$P_{трапеции} = 2c + 2c = 4c$

Пусть $D$ — диаметр вписанной окружности. Длина окружности $L_{окружности}$ вычисляется по формуле:

$L_{окружности} = \pi D$

Согласно условию задачи, периметр трапеции в два раза больше длины окружности:

$P_{трапеции} = 2L_{окружности}$

Подставим полученные выражения для $P_{трапеции}$ и $L_{окружности}$:

$4c = 2(\pi D)$

Сократим обе части уравнения на 2:

$2c = \pi D$

Известно, что высота $h$ трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности:

$h = D$

Подставим $D = h$ в уравнение $2c = \pi D$:

$2c = \pi h$

Выразим высоту $h$ через боковую сторону $c$:

$h = \frac{2c}{\pi}$

Теперь рассмотрим один из углов при основании трапеции, например, угол $\alpha$. Если опустить высоту из вершины верхнего основания на нижнее, образуется прямоугольный треугольник. В этом треугольнике боковая сторона $c$ является гипотенузой, а высота $h$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$.

Синус угла $\alpha$ определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin \alpha = \frac{h}{c}$

Подставим ранее найденное выражение для $h$:

$\sin \alpha = \frac{2c/\pi}{c}$

Сократим $c$:

$\sin \alpha = \frac{2}{\pi}$

Следовательно, угол при основании трапеции равен $\alpha = \arcsin(\frac{2}{\pi})$.

Так как трапеция равнобедренная, углы при одном основании равны между собой. Пусть это будут углы $\angle A$ и $\angle D$. Тогда $\angle A = \angle D = \alpha = \arcsin(\frac{2}{\pi})$.

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Пусть $\beta$ — угол при другом основании. Тогда $\alpha + \beta = 180^\circ$.

Отсюда, $\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - \arcsin(\frac{2}{\pi})$.

Таким образом, углы $\angle B = \angle C = 180^\circ - \arcsin(\frac{2}{\pi})$.

Ответ:

Углы трапеции равны $\arcsin(\frac{2}{\pi})$ и $180^\circ - \arcsin(\frac{2}{\pi})$.

361. Найдите радианную меру центрального угла окружности радиуса $R$, если длина его дуги равна:

а) $2R$;

б) $0.5R$.

Дано:

Радиус окружности: $R$.

Длина дуги $L$.

Перевод в СИ: Величина радиуса $R$ измеряется в единицах длины (например, метрах). Длина дуги $L$ измеряется в тех же единицах. Радианная мера угла является безразмерной величиной и не требует дополнительного перевода в систему СИ.

Найти:

Радианную меру центрального угла $\alpha$ для заданных значений длины дуги.

Решение:

Радианная мера центрального угла $\alpha$ связана с длиной дуги $L$ и радиусом окружности $R$ формулой:

$L = \alpha R$

Отсюда выразим центральный угол $\alpha$:

$\alpha = \frac{L}{R}$

а)

В данном случае длина дуги $L$ равна $2R$.

Подставим это значение в формулу для $\alpha$:

$\alpha_a = \frac{2R}{R} = 2$

Ответ:

2 радиана.

б)

В данном случае длина дуги $L$ равна $0.5R$.

Подставим это значение в формулу для $\alpha$:

$\alpha_b = \frac{0.5R}{R} = 0.5$

Ответ:

0.5 радиана.

362. Найдите градусную и радианную меру углов:

а) прямоугольного треугольника, острые углы которого относятся как 3 : 2;

б) равнобедренного треугольника, два угла которого относятся как 1 : 2;

в) равнобедренной трапеции, два угла которой относятся как 5 : 4.

a) прямоугольного треугольника, острые углы которого относятся как 3 : 2;

Дано

Прямоугольный треугольник.

Один угол равен $90^\circ$.

Острые углы относятся как $3:2$.

Найти: градусную и радианную меру углов.

Решение

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Пусть острые углы будут $3x$ и $2x$.

Тогда $3x + 2x = 90^\circ$.

$5x = 90^\circ$.

$x = \frac{90^\circ}{5} = 18^\circ$.

Острые углы:

Первый острый угол: $3x = 3 \cdot 18^\circ = 54^\circ$.

Второй острый угол: $2x = 2 \cdot 18^\circ = 36^\circ$.

Прямой угол: $90^\circ$.

Переведем углы в радианы:

$36^\circ = 36 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{36\pi}{180} = \frac{\pi}{5}$ радиан.

$54^\circ = 54 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{54\pi}{180} = \frac{3\pi}{10}$ радиан.

$90^\circ = 90 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{90\pi}{180} = \frac{\pi}{2}$ радиан.

Ответ:

Градусная мера: $36^\circ$, $54^\circ$, $90^\circ$.

Радианная мера: $\frac{\pi}{5}$, $\frac{3\pi}{10}$, $\frac{\pi}{2}$.

б) равнобедренного треугольника, два угла которого относятся как 1 : 2;

Дано

Равнобедренный треугольник.

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.

Два угла относятся как $1:2$.

Найти: градусную и радианную меру углов.

Решение

В равнобедренном треугольнике два угла при основании равны. Возможны два случая для соотношения углов $1:2$:

Случай 1: Углы при основании равны, и каждый из них относится к углу при вершине как $1:2$.

Пусть углы при основании будут $x$, а угол при вершине $2x$.

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$:

$x + x + 2x = 180^\circ$.

$4x = 180^\circ$.

$x = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ$.

Углы: $45^\circ$, $45^\circ$, $2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$.

Проверка соотношения: $45^\circ : 90^\circ = 1:2$.

Переведем углы в радианы:

$45^\circ = 45 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{4}$ радиан.

$90^\circ = 90 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{2}$ радиан.

Случай 2: Угол при вершине относится к каждому из углов при основании как $1:2$.

Пусть угол при вершине будет $x$, а углы при основании $2x$.

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$:

$x + 2x + 2x = 180^\circ$.

$5x = 180^\circ$.

$x = \frac{180^\circ}{5} = 36^\circ$.

Углы: $36^\circ$, $2 \cdot 36^\circ = 72^\circ$, $2 \cdot 36^\circ = 72^\circ$.

Проверка соотношения: $36^\circ : 72^\circ = 1:2$.

Переведем углы в радианы:

$36^\circ = 36 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{5}$ радиан.

$72^\circ = 72 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{5}$ радиан.

Ответ:

Существуют два возможных набора углов:

Набор 1:

Градусная мера: $45^\circ$, $45^\circ$, $90^\circ$.

Радианная мера: $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{2}$.

Набор 2:

Градусная мера: $36^\circ$, $72^\circ$, $72^\circ$.

Радианная мера: $\frac{\pi}{5}$, $\frac{2\pi}{5}$, $\frac{2\pi}{5}$.

в) равнобедренной трапеции, два угла которой относятся как 5 : 4.

Дано

Равнобедренная трапеция.

Углы при каждом основании равны.

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$.

Два угла относятся как $5:4$.

Найти: градусную и радианную меру углов.

Решение

В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, и углы при другом основании равны.

Пусть углы при большем основании будут $\alpha$, а углы при меньшем основании $\beta$.

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta = 180^\circ$.

Углы, которые могут относиться как $5:4$, это углы при разных основаниях, так как углы при одном основании равны.

Пусть один угол равен $5x$, а другой $4x$.

Их сумма равна $180^\circ$:

$5x + 4x = 180^\circ$.

$9x = 180^\circ$.

$x = \frac{180^\circ}{9} = 20^\circ$.

Тогда один набор равных углов (при одном основании) равен $4x = 4 \cdot 20^\circ = 80^\circ$.

Второй набор равных углов (при другом основании) равен $5x = 5 \cdot 20^\circ = 100^\circ$.

Углы трапеции: $80^\circ$, $80^\circ$, $100^\circ$, $100^\circ$.

Проверка соотношения: $100^\circ : 80^\circ = 10:8 = 5:4$.

Проверка суммы смежных углов: $80^\circ + 100^\circ = 180^\circ$.

Переведем углы в радианы:

$80^\circ = 80 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{8\pi}{18} = \frac{4\pi}{9}$ радиан.

$100^\circ = 100 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{10\pi}{18} = \frac{5\pi}{9}$ радиан.

Ответ:

Градусная мера: $80^\circ$, $80^\circ$, $100^\circ$, $100^\circ$.

Радианная мера: $\frac{4\pi}{9}$, $\frac{4\pi}{9}$, $\frac{5\pi}{9}$, $\frac{5\pi}{9}$.

363. Выразите в радианах величину угла и величину центрального угла правильного:

а) треугольника;

б) пятиугольника;

в) двенадцатиугольника.

Дано:

Правильные многоугольники: треугольник, пятиугольник, двенадцатиугольник.

Перевод в СИ:

Число сторон $n$ является безразмерной величиной. Углы будут выражены в радианах, которые являются единицей СИ для углов.

Найти:

Величину внутреннего угла и величину центрального угла в радианах для каждого из указанных правильных многоугольников.

Решение:

Для правильного $n$-угольника величина внутреннего угла $ \alpha $ в радианах определяется формулой $ \alpha = \frac{(n-2)\pi}{n} $. Величина центрального угла $ \beta $ в радианах определяется формулой $ \beta = \frac{2\pi}{n} $.

a) треугольника

Для правильного треугольника (равностороннего) число сторон $ n = 3 $.
Внутренний угол: $ \alpha = \frac{(3-2)\pi}{3} = \frac{1\pi}{3} = \frac{\pi}{3} $.
Центральный угол: $ \beta = \frac{2\pi}{3} $.
Ответ: Внутренний угол $ \frac{\pi}{3} $ радиан; центральный угол $ \frac{2\pi}{3} $ радиан.

b) пятиугольника

Для правильного пятиугольника число сторон $ n = 5 $.
Внутренний угол: $ \alpha = \frac{(5-2)\pi}{5} = \frac{3\pi}{5} $.
Центральный угол: $ \beta = \frac{2\pi}{5} $.
Ответ: Внутренний угол $ \frac{3\pi}{5} $ радиан; центральный угол $ \frac{2\pi}{5} $ радиан.

v) двенадцатиугольника

Для правильного двенадцатиугольника число сторон $ n = 12 $.
Внутренний угол: $ \alpha = \frac{(12-2)\pi}{12} = \frac{10\pi}{12} = \frac{5\pi}{6} $.
Центральный угол: $ \beta = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6} $.
Ответ: Внутренний угол $ \frac{5\pi}{6} $ радиан; центральный угол $ \frac{\pi}{6} $ радиан.

364. Вычислите длину дуги, если известны ее радианная мера $\alpha$ и радиус $R$ содержащей ее окружности:

а) $\alpha = 2$ рад., $R = 1$ см;

б) $\alpha = 0,75\pi$, $R = 6$ см.

а)

Дано:
$\alpha = 2 \text{ рад}$
$R = 1 \text{ см}$

Перевод в СИ:
$R = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$\alpha = 2 \text{ рад}$ (единица СИ)

Найти:
$L$ - длина дуги

Решение:
Длина дуги окружности $L$ вычисляется по формуле $L = \alpha \cdot R$, где $\alpha$ - радианная мера угла, а $R$ - радиус окружности.
$L = 2 \text{ рад} \cdot 0.01 \text{ м}$
$L = 0.02 \text{ м}$
Переведем обратно в сантиметры для удобства:
$L = 0.02 \text{ м} \cdot 100 \text{ см/м} = 2 \text{ см}$

Ответ: $L = 2 \text{ см}$

б)

Дано:
$\alpha = 0.75\pi \text{ рад}$
$R = 6 \text{ см}$

Перевод в СИ:
$R = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$
$\alpha = 0.75\pi \text{ рад}$ (единица СИ)

Найти:
$L$ - длина дуги

Решение:
Длина дуги окружности $L$ вычисляется по формуле $L = \alpha \cdot R$, где $\alpha$ - радианная мера угла, а $R$ - радиус окружности.
$L = 0.75\pi \text{ рад} \cdot 0.06 \text{ м}$
$L = 0.045\pi \text{ м}$
Переведем обратно в сантиметры для удобства:
$L = 0.045\pi \text{ м} \cdot 100 \text{ см/м} = 4.5\pi \text{ см}$

Ответ: $L = 4.5\pi \text{ см}$