Вопросы, страница 157 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ

1. Как выражается сторона правильного многоугольника через радиус:

а) описанной около него окружности;

б) вписанной в него окружности?

2. Докажите, что правильные $n$-угольники подобны.

3. Выведите формулы площади правильного $n$-угольника через:

а) его сторону и радиус вписанной в него окружности;

б) радиус описанной около него окружности и его центральный угол.

1. Как выражается сторона правильного многоугольника через радиус:

Дано: Правильный $n$-угольник.

Найти: Сторону $a_n$ правильного $n$-угольника.

а) описанной около него окружности;

Дано: $R$ - радиус описанной окружности.

Решение: Рассмотрим правильный $n$-угольник. Его вершинами являются точки, лежащие на описанной окружности радиуса $R$. Соединим центр окружности с двумя соседними вершинами многоугольника. Получим равнобедренный треугольник, две стороны которого равны $R$, а третья сторона - это сторона $a_n$ многоугольника. Угол при центре окружности, опирающийся на одну сторону многоугольника (центральный угол), равен $\frac{2\pi}{n}$ радиан (или $\frac{360^\circ}{n}$ градусов). Опустим высоту из центра на сторону $a_n$. Эта высота является радиусом вписанной окружности $r$ и делит центральный угол пополам, а также сторону $a_n$ пополам. В образовавшемся прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $R$, катет равен $\frac{a_n}{2}$, а угол напротив этого катета равен $\frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{n} = \frac{\pi}{n}$. Тогда, используя определение синуса: $\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{a_n/2}{R}$. Отсюда выражаем $a_n$: $a_n = 2R \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$.

Ответ: $a_n = 2R \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$

б) вписанной в него окружности?

Дано: $r$ - радиус вписанной окружности (апофема).

Решение: Используем тот же прямоугольный треугольник, что и в предыдущем пункте. Катет, прилежащий к углу $\frac{\pi}{n}$, равен $r$ (радиусу вписанной окружности). Катет, противолежащий углу $\frac{\pi}{n}$, равен $\frac{a_n}{2}$. Используя определение тангенса: $\tan\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{a_n/2}{r}$. Отсюда выражаем $a_n$: $a_n = 2r \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)$.

Ответ: $a_n = 2r \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)$

2. Докажите, что правильные $n$-угольники подобны.

Дано: Два произвольных правильных $n$-угольника.

Найти: Доказать их подобие.

Решение: Два многоугольника называются подобными, если их соответствующие углы равны и соответствующие стороны пропорциональны. 1. Равенство углов: Все внутренние углы правильного $n$-угольника равны между собой. Формула для каждого внутреннего угла $\alpha$ правильного $n$-угольника: $\alpha = \frac{(n-2)\pi}{n}$ радиан (или $\frac{(n-2)180^\circ}{n}$ градусов). Эта формула зависит только от числа сторон $n$. Следовательно, любые два правильных $n$-угольника будут иметь одинаковые внутренние углы. Таким образом, соответствующие углы у них равны. 2. Пропорциональность сторон: Пусть у нас есть два правильных $n$-угольника со сторонами $a_1$ и $a_2$ соответственно. Для первого $n$-угольника: $a_1 = 2R_1 \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$, где $R_1$ - радиус описанной окружности. Для второго $n$-угольника: $a_2 = 2R_2 \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$, где $R_2$ - радиус описанной окружности. Найдем отношение их сторон: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{2R_1 \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}{2R_2 \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)} = \frac{R_1}{R_2}$. Поскольку все стороны правильного многоугольника равны, отношение любых соответствующих сторон будет равно $\frac{a_1}{a_2}$. Это отношение является постоянным для данных двух многоугольников. Таким образом, все соответствующие стороны пропорциональны. Поскольку у правильных $n$-угольников соответствующие углы равны и соответствующие стороны пропорциональны, они подобны.

Ответ: Доказано.

3. Выведите формулы площади правильного $n$-угольника через:

Дано: Правильный $n$-угольник. $S_n$ - площадь; $a_n$ - сторона; $r$ - радиус вписанной окружности (апофема); $R$ - радиус описанной окружности; $\alpha_c$ - центральный угол.

Найти: Формулы для площади $S_n$.

а) его сторону и радиус вписанной в него окружности;

Решение: Правильный $n$-угольник можно разбить на $n$ равных равнобедренных треугольников, соединив его центр со всеми вершинами. Основанием каждого такого треугольника является сторона многоугольника $a_n$. Высота каждого такого треугольника, проведенная из центра многоугольника к его стороне, равна радиусу вписанной окружности $r$ (апофеме). Площадь одного такого треугольника: $S_{треуг} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} a_n r$. Поскольку многоугольник состоит из $n$ таких треугольников, его общая площадь $S_n$ равна $n$ умножить на площадь одного треугольника: $S_n = n \cdot \left(\frac{1}{2} a_n r\right) = \frac{1}{2} n a_n r$. Заметим, что $n a_n$ - это периметр $P$ правильного $n$-угольника. Таким образом, формулу можно также записать как $S_n = \frac{1}{2} P r$.

Ответ: $S_n = \frac{1}{2} n a_n r$

б) радиус описанной около него окружности и его центральный угол.

Решение: Как и в предыдущем пункте, разобьем правильный $n$-угольник на $n$ равных равнобедренных треугольников, соединив центр со всеми вершинами. В этом случае две стороны каждого треугольника являются радиусами описанной окружности $R$, а угол между ними - это центральный угол $\alpha_c$, который равен $\frac{2\pi}{n}$ радиан (или $\frac{360^\circ}{n}$ градусов). Площадь треугольника, образованного двумя сторонами $R$ и углом $\alpha_c$ между ними, вычисляется по формуле: $S_{треуг} = \frac{1}{2} R \cdot R \sin(\alpha_c) = \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha_c)$. Поскольку многоугольник состоит из $n$ таких треугольников, его общая площадь $S_n$ равна $n$ умножить на площадь одного треугольника: $S_n = n \cdot \left(\frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha_c)\right) = \frac{1}{2} n R^2 \sin(\alpha_c)$. Подставляя $\alpha_c = \frac{2\pi}{n}$, получаем: $S_n = \frac{1}{2} n R^2 \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$.

Ответ: $S_n = \frac{1}{2} n R^2 \sin(\alpha_c)$ или $S_n = \frac{1}{2} n R^2 \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$