Номер 367, страница 163 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

367. Минутная стрелка часов имеет длину 0,6 м. Какова длина дуги, которую описывает конец стрелки в течение:

а) 15 минут;

б) 50 минут?

Дано:

Длина минутной стрелки: $L = 0.6 \text{ м}$

Перевод в систему СИ:

Длина минутной стрелки: $L = 0.6 \text{ м}$ (величина уже представлена в системе СИ)

Найти:

a) Длина дуги, описываемой концом стрелки в течение 15 минут: $S_a$

б) Длина дуги, описываемой концом стрелки в течение 50 минут: $S_b$

Решение:

Длина дуги $S$, описываемой концом стрелки, движущейся по окружности, определяется формулой: $S = L \cdot \theta$, где $L$ — радиус окружности (в данном случае длина минутной стрелки), а $\theta$ — угол поворота в радианах.

Минутная стрелка совершает полный оборот, что составляет $360^\circ$ или $2\pi$ радиан, за 60 минут. Определим угловую скорость $\omega$ минутной стрелки:

$\omega = \frac{2\pi \text{ рад}}{60 \text{ мин}} = \frac{\pi}{30} \frac{\text{рад}}{\text{мин}}$.

a) 15 минут

За время $t_a = 15 \text{ минут}$ минутная стрелка повернется на угол $\theta_a$:

$\theta_a = \omega \cdot t_a = \frac{\pi}{30} \frac{\text{рад}}{\text{мин}} \cdot 15 \text{ мин} = \frac{15\pi}{30} \text{ рад} = \frac{\pi}{2} \text{ рад}$.

Теперь вычислим длину дуги $S_a$:

$S_a = L \cdot \theta_a = 0.6 \text{ м} \cdot \frac{\pi}{2} \text{ рад} = 0.3\pi \text{ м}$.

Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$, получим:

$S_a \approx 0.3 \cdot 3.14159 \text{ м} \approx 0.942 \text{ м}$.

Ответ: 0.942 м

б) 50 минут

За время $t_b = 50 \text{ минут}$ минутная стрелка повернется на угол $\theta_b$:

$\theta_b = \omega \cdot t_b = \frac{\pi}{30} \frac{\text{рад}}{\text{мин}} \cdot 50 \text{ мин} = \frac{50\pi}{30} \text{ рад} = \frac{5\pi}{3} \text{ рад}$.

Теперь вычислим длину дуги $S_b$:

$S_b = L \cdot \theta_b = 0.6 \text{ м} \cdot \frac{5\pi}{3} \text{ рад} = \frac{3.0\pi}{3} \text{ м} = \pi \text{ м}$.

Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$, получим:

$S_b \approx 3.14159 \text{ м} \approx 3.14 \text{ м}$.

Ответ: 3.14 м