Номер 369, страница 167 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

369. Как изменится площадь круга, если его радиус:

а) увеличить в $k$ раз;

б) уменьшить в $k$ раз?

Дано:

Пусть начальный радиус круга равен $r$.

Начальная площадь круга $S$ определяется по формуле $S = \pi r^2$.

Найти:

Как изменится площадь круга, если его радиус: а) увеличить в $k$ раз; б) уменьшить в $k$ раз.

Решение:

а) увеличить в k раз

Пусть начальный радиус круга равен $r_1$, а его начальная площадь $S_1$. Тогда $S_1 = \pi r_1^2$.

Если радиус увеличить в $k$ раз, то новый радиус $r_2$ будет равен $r_2 = k \cdot r_1$.

Найдем новую площадь $S_2$ с учетом нового радиуса:

$S_2 = \pi r_2^2 = \pi (k \cdot r_1)^2 = \pi k^2 r_1^2$

Мы знаем, что $S_1 = \pi r_1^2$. Подставим это в выражение для $S_2$:

$S_2 = k^2 (\pi r_1^2) = k^2 S_1$

Это означает, что новая площадь $S_2$ в $k^2$ раз больше начальной площади $S_1$.

Ответ: Площадь увеличится в $k^2$ раз.

б) уменьшить в k раз

Пусть начальный радиус круга равен $r_1$, а его начальная площадь $S_1$. Тогда $S_1 = \pi r_1^2$.

Если радиус уменьшить в $k$ раз, то новый радиус $r_2$ будет равен $r_2 = \frac{r_1}{k}$.

Найдем новую площадь $S_2$ с учетом нового радиуса:

$S_2 = \pi r_2^2 = \pi \left(\frac{r_1}{k}\right)^2 = \pi \frac{r_1^2}{k^2}$

Мы знаем, что $S_1 = \pi r_1^2$. Подставим это в выражение для $S_2$:

$S_2 = \frac{1}{k^2} (\pi r_1^2) = \frac{S_1}{k^2}$

Это означает, что новая площадь $S_2$ в $k^2$ раз меньше начальной площади $S_1$.

Ответ: Площадь уменьшится в $k^2$ раз.