Номер 388, страница 170 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

Найдите с точностью до 0,1 см длину этой дуги.

388. Доказать, что сумма двух углов правильного многоугольника, внутреннего и центрального, равна $180^\circ$.

Дано: Правильный $n$-угольник.

Найти: Доказать, что сумма внутреннего и центрального углов правильного $n$-угольника равна $180^\circ$.

Решение:

Пусть $\alpha_n$ — внутренний угол правильного $n$-угольника. Сумма внутренних углов любого $n$-угольника равна $(n-2) \times 180^\circ$. Поскольку правильный $n$-угольник имеет $n$ равных внутренних углов, то величина одного внутреннего угла выражается формулой:

$\alpha_n = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$

Пусть $\beta_n$ — центральный угол правильного $n$-угольника. Центральный угол образуется двумя радиусами, проведенными из центра многоугольника к соседним вершинам. Сумма всех центральных углов, соответствующих сторонам правильного $n$-угольника и образуемых вокруг его центра, составляет $360^\circ$. Поскольку в правильном $n$-угольнике $n$ равных сторон, то величина одного центрального угла выражается формулой:

$\beta_n = \frac{360^\circ}{n}$

Теперь найдем сумму внутреннего и центрального углов:

$\alpha_n + \beta_n = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n} + \frac{360^\circ}{n}$

Объединим дроби с общим знаменателем $n$:

$\alpha_n + \beta_n = \frac{180^\circ(n-2) + 360^\circ}{n}$

Раскроем скобки в числителе:

$\alpha_n + \beta_n = \frac{180^\circ n - 360^\circ + 360^\circ}{n}$

В числителе $-360^\circ$ и $+360^\circ$ взаимно уничтожаются:

$\alpha_n + \beta_n = \frac{180^\circ n}{n}$

Сократим $n$ в числителе и знаменателе:

$\alpha_n + \beta_n = 180^\circ$

Таким образом, сумма внутреннего и центрального углов правильного многоугольника равна $180^\circ$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.