Номер 389, страница 170 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

389. a) Валик, диаметр поперечного сечения которого равен 2 см, опилен так, что в поперечном сечении получился квадрат. Каков наибольший размер может иметь сторона этого квадрата?
б) На два шкива, радиусы которых равны 0,9 м и 0,3 м, а расстояния между их центрами 2,4 м, туго натянут ремень. Найдите с точностью до 0,01 м длину одной части этого ремня, которая не касается шкивов.

а)

Дано:

Диаметр валика $D = 2 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$D = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Наибольший размер стороны квадрата $a$.

Решение:

Для того чтобы квадрат, выпиленный из круглого валика, имел наибольший возможный размер стороны, его вершины должны лежать на окружности поперечного сечения валика. В этом случае диаметр окружности будет равен диагонали квадрата.

Пусть сторона квадрата равна $a$, а диаметр валика равен $D$.

По теореме Пифагора, диагональ квадрата со стороной $a$ вычисляется как $\sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Таким образом, мы имеем равенство: $D = a\sqrt{2}$.

Из этого уравнения выразим сторону квадрата $a$:

$a = \frac{D}{\sqrt{2}}$

Подставим заданное значение диаметра $D = 2 \text{ см}$:

$a = \frac{2}{\sqrt{2}} \text{ см}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$a = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \text{ см} = \frac{2\sqrt{2}}{2} \text{ см} = \sqrt{2} \text{ см}$

Приближенное значение $\sqrt{2} \approx 1.414 \text{ см}$.

Ответ: $\sqrt{2} \text{ см}$ (приблизительно $1.41 \text{ см}$)

б)

Дано:

Радиус первого шкива $R_1 = 0.9 \text{ м}$

Радиус второго шкива $R_2 = 0.3 \text{ м}$

Расстояние между центрами шкивов $L = 2.4 \text{ м}$

Перевод в СИ:

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Длина одной части ремня, которая не касается шкивов $S$, с точностью до $0.01 \text{ м}$.

Решение:

Части ремня, которые не касаются шкивов, представляют собой общие внешние касательные к двум окружностям (поперечным сечениям шкивов).

Пусть $O_1$ и $O_2$ - центры шкивов, а $T_1$ и $T_2$ - точки касания ремня с окружностями шкивов. Отрезок $T_1T_2$ - это искомая длина.

Проведем радиусы $O_1T_1$ и $O_2T_2$. Эти радиусы перпендикулярны касательной $T_1T_2$.

Опустим перпендикуляр из центра меньшего шкива $O_2$ на радиус $O_1T_1$ большего шкива. Пусть точка пересечения будет $K$.

Образуется прямоугольник $O_2T_2T_1K$, в котором $O_2K = T_1T_2$ и $O_2T_2 = KT_1 = R_2$.

Также образуется прямоугольный треугольник $O_1KO_2$.

Длины сторон этого треугольника:

• Гипотенуза: $O_1O_2 = L$ (расстояние между центрами).
• Один катет: $O_1K = O_1T_1 - KT_1 = R_1 - R_2$.
• Второй катет: $O_2K$, который равен искомой длине $S = T_1T_2$.

По теореме Пифагора для треугольника $O_1KO_2$:

$L^2 = (R_1 - R_2)^2 + S^2$

Отсюда выразим $S$:

$S^2 = L^2 - (R_1 - R_2)^2$

$S = \sqrt{L^2 - (R_1 - R_2)^2}$

Подставим данные значения:

$R_1 = 0.9 \text{ м}$

$R_2 = 0.3 \text{ м}$

$L = 2.4 \text{ м}$

Вычислим разность радиусов: $R_1 - R_2 = 0.9 - 0.3 = 0.6 \text{ м}$.

Теперь подставим значения в формулу для $S$:

$S = \sqrt{(2.4)^2 - (0.6)^2}$

$S = \sqrt{5.76 - 0.36}$

$S = \sqrt{5.4}$

Вычислим значение и округлим до $0.01 \text{ м}$:

$S \approx 2.32379 \text{ м}$

Округляем до сотых:

$S \approx 2.32 \text{ м}$

Ответ: $2.32 \text{ м}$