Номер 391, страница 170 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

391. Найдите радиус окружности, если известно, что периметр описанного около нее многоугольника равен 60 см, а площадь – 240 $см^2$. Может ли такой многоугольник быть правильным?

Дано

Периметр многоугольника $P = 60 \text{ см}$

Площадь многоугольника $S = 240 \text{ см}^2$

Перевод в СИ:

$P = 60 \text{ см} = 0.6 \text{ м}$

$S = 240 \text{ см}^2 = 0.024 \text{ м}^2$

Найти:

Радиус окружности $r$

Может ли многоугольник быть правильным?

Решение

Найти радиус окружности

Формула для площади многоугольника, описанного около окружности, связана с его периметром $P$ и радиусом $r$ вписанной окружности. Эта формула применима для любого тангенциального многоугольника:

$S = \frac{1}{2} P r$

Чтобы найти радиус $r$, выразим его из формулы:

$r = \frac{2S}{P}$

Подставим известные значения периметра и площади:

$r = \frac{2 \times 240 \text{ см}^2}{60 \text{ см}}$

$r = \frac{480 \text{ см}^2}{60 \text{ см}}$

$r = 8 \text{ см}$

Ответ: Радиус окружности равен 8 см.

Может ли такой многоугольник быть правильным?

Многоугольник, описанный около окружности (то есть такой, в который можно вписать окружность так, что все его стороны будут касаться этой окружности), называется тангенциальным многоугольником. Правильный многоугольник всегда является тангенциальным.

Формула $S = \frac{1}{2} P r$ верна для любого тангенциального многоугольника. Условия, заданные в задаче (периметр, площадь и найденный радиус вписанной окружности), не противоречат тому, что многоугольник является правильным. Это означает, что существует как минимум один правильный многоугольник (или несколько), который мог бы удовлетворять данным условиям, поскольку правильные многоугольники являются частным случаем тангенциальных многоугольников. Таким образом, да, такой многоугольник может быть правильным.

Ответ: Да, такой многоугольник может быть правильным.