Страница 171 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

393. Через точку, находящуюся на расстоянии $b$ от центра данной окружности, проведены к ней две касательные, угол между которыми равен $\alpha$. Найдите площадь правильного треугольника, вписанного в эту окружность.

Дано:

Расстояние от точки до центра окружности: $OP = b$

Угол между касательными, проведенными из этой точки: $\angle APB = a$

Найти:

Площадь правильного треугольника, вписанного в окружность: $S_{треугольника}$

Решение:

Пусть $O$ - центр данной окружности, $R$ - ее радиус. Пусть $P$ - точка, из которой проведены касательные к окружности, а $A$ и $B$ - точки касания.

1. Определение радиуса окружности.

Линия, соединяющая центр окружности $O$ с внешней точкой $P$, из которой проведены касательные, является биссектрисой угла между касательными. Следовательно, $\angle OPA = \frac{a}{2}$.

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Поэтому треугольник $OAP$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$.

В прямоугольном треугольнике $OAP$ имеем:
$OA = R$ (радиус окружности)
$OP = b$ (расстояние от точки до центра)

Используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике:
$\sin(\angle OPA) = \frac{OA}{OP}$
$\sin\left(\frac{a}{2}\right) = \frac{R}{b}$

Из этого соотношения выразим радиус $R$:
$R = b \cdot \sin\left(\frac{a}{2}\right)$

2. Нахождение площади правильного треугольника, вписанного в окружность.

Площадь правильного (равностороннего) треугольника, вписанного в окружность радиуса $R$, можно найти по формуле:
$S_{треугольника} = \frac{3\sqrt{3}}{4} R^2$

Подставим ранее найденное выражение для $R$ в эту формулу площади:
$S_{треугольника} = \frac{3\sqrt{3}}{4} \left(b \cdot \sin\left(\frac{a}{2}\right)\right)^2$
$S_{треугольника} = \frac{3\sqrt{3}}{4} b^2 \sin^2\left(\frac{a}{2}\right)$

Ответ:

Площадь правильного треугольника, вписанного в данную окружность, равна $S = \frac{3\sqrt{3}}{4} b^2 \sin^2\left(\frac{a}{2}\right)$.

394. a) Найдите площадь правильного восьмиугольника со стороной 4 см.

б) Квадрат, сторона которого равна 8 см, срезан по углам так, что получился правильный восьмиугольник. Найдите площадь этого многоугольника.

a)

Дано:

правильный восьмиугольник

сторона $a = 4$ см

Перевод в СИ:

$a = 4 \cdot 10^{-2}$ м

Найти:

площадь $S_a$

Решение:

площадь правильного $n$-угольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{n a^2}{4 \tan(\frac{\pi}{n})}$

для восьмиугольника $n=8$. подставляем значения:

$S_a = \frac{8 \cdot (4 \text{ см})^2}{4 \tan(\frac{\pi}{8})}$

$S_a = \frac{8 \cdot 16}{4 \tan(22.5^\circ)}$

$S_a = \frac{128}{4 \tan(\frac{\pi}{8})}$

$S_a = \frac{32}{\tan(\frac{\pi}{8})}$

значение $\tan(\frac{\pi}{8})$ можно найти, используя формулу половинного угла $\tan(\frac{x}{2}) = \frac{1 - \cos x}{\sin x}$. пусть $x = \frac{\pi}{4}$:

$\tan(\frac{\pi}{8}) = \frac{1 - \cos(\frac{\pi}{4})}{\sin(\frac{\pi}{4})} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\tan(\frac{\pi}{8}) = \frac{(2 - \sqrt{2})\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2} - 2}{2} = \sqrt{2} - 1$

теперь подставим это значение в формулу для площади:

$S_a = \frac{32}{\sqrt{2} - 1}$

чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2} + 1)$:

$S_a = \frac{32(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{32(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{32(\sqrt{2} + 1)}{2 - 1} = \frac{32(\sqrt{2} + 1)}{1}$

$S_a = 32(\sqrt{2} + 1)$ см$^2$

Ответ: $32(\sqrt{2} + 1)$ см$^2$.

б)

Дано:

квадрат со стороной $L = 8$ см

из квадрата срезаны углы, образовав правильный восьмиугольник

Перевод в СИ:

$L = 8 \cdot 10^{-2}$ м

Найти:

площадь $S_b$ этого многоугольника

Решение:

когда углы квадрата срезаются для образования правильного восьмиугольника, срезаются четыре одинаковых равнобедренных прямоугольных треугольника. пусть длина катета каждого такого треугольника равна $x$.

сторона квадрата $L$ состоит из двух катетов $x$ и стороны восьмиугольника $a'$. таким образом, $L = x + a' + x = a' + 2x$.

сторона восьмиугольника $a'$ является гипотенузой этих равнобедренных прямоугольных треугольников, поэтому $a' = x\sqrt{2}$.

подставим $a'$ в первое уравнение:

$L = x\sqrt{2} + 2x = x(2 + \sqrt{2})$

выразим $x$:

$x = \frac{L}{2 + \sqrt{2}}$

подставим $L = 8$ см:

$x = \frac{8}{2 + \sqrt{2}}$

чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2 - \sqrt{2})$:

$x = \frac{8(2 - \sqrt{2})}{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} = \frac{8(2 - \sqrt{2})}{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{8(2 - \sqrt{2})}{4 - 2} = \frac{8(2 - \sqrt{2})}{2} = 4(2 - \sqrt{2})$ см

площадь восьмиугольника можно найти, вычтя площади четырех срезанных треугольников из площади исходного квадрата.

площадь квадрата $S_{кв} = L^2 = (8 \text{ см})^2 = 64$ см$^2$.

площадь одного срезанного треугольника $S_{тр} = \frac{1}{2} x^2$:

$S_{тр} = \frac{1}{2} (4(2 - \sqrt{2}))^2 = \frac{1}{2} \cdot 16 (2 - \sqrt{2})^2 = 8 (4 - 4\sqrt{2} + 2) = 8 (6 - 4\sqrt{2}) = 48 - 32\sqrt{2}$ см$^2$

площадь четырех срезанных треугольников $S_{4тр} = 4 \cdot S_{тр} = 4(48 - 32\sqrt{2}) = 192 - 128\sqrt{2}$ см$^2$

площадь восьмиугольника $S_b = S_{кв} - S_{4тр}$:

$S_b = 64 - (192 - 128\sqrt{2})$

$S_b = 64 - 192 + 128\sqrt{2}$

$S_b = 128\sqrt{2} - 128 = 128(\sqrt{2} - 1)$ см$^2$

Ответ: $128(\sqrt{2} - 1)$ см$^2$.

395. Найдите сторону правильного 12-угольника, вписанного в окружность радиусом 4 см.

Дано:

Правильный многоугольник с числом сторон $n = 12$.

Радиус описанной окружности $R = 4 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$n = 12$

$R = 0.04 \text{ м}$

Найти:

Сторона правильного 12-угольника $a_{12}$.

Решение:

Для правильного $n$-угольника, вписанного в окружность радиуса $R$, длина стороны $a_n$ может быть найдена по формуле:

$a_n = 2R \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$

В нашем случае $n = 12$ и $R = 4 \text{ см}$. Подставим эти значения в формулу:

$a_{12} = 2 \cdot 4 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{12}\right)$

$a_{12} = 8 \sin\left(\frac{\pi}{12}\right)$

Угол $\frac{\pi}{12}$ радиан равен $15^\circ$. Найдем значение $\sin(15^\circ)$. Мы можем использовать формулу синуса разности углов: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$.

Пусть $\alpha = 45^\circ$ и $\beta = 30^\circ$. Тогда $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$.

$\sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) - \cos(45^\circ)\sin(30^\circ)$

Известные значения синусов и косинусов для $30^\circ$ и $45^\circ$:

$\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

Подставим эти значения:

$\sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

$\sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

$\sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Теперь подставим это значение обратно в формулу для $a_{12}$:

$a_{12} = 8 \cdot \left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right)$

$a_{12} = 2(\sqrt{6} - \sqrt{2})$

Ответ:

$2(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \text{ см}$

396. Найдите диагонали правильного шестиугольника, сторона которого равна 8 см.

Дано

Сторона правильного шестиугольника $a = 8$ см.

Найти

Длины диагоналей правильного шестиугольника.

Решение

В правильном шестиугольнике существуют два типа диагоналей: большие (длинные) и малые (короткие).

1. Большие диагонали (проходящие через центр шестиугольника).

Правильный шестиугольник можно разбить на шесть равных правильных (равносторонних) треугольников, стороны которых равны стороне шестиугольника $a$. Большая диагональ правильного шестиугольника соединяет две противоположные вершины и проходит через его центр. Она состоит из двух радиусов описанной окружности, каждый из которых равен стороне шестиугольника. Следовательно, длина большой диагонали $d_1$ равна удвоенной длине стороны шестиугольника:

$d_1 = 2a$

Подставим заданное значение стороны $a = 8$ см:

$d_1 = 2 \times 8 = 16$ см.

2. Малые диагонали (соединяющие вершины через одну).

Рассмотрим треугольник, образованный двумя смежными сторонами шестиугольника и малой диагональю (например, если вершины шестиугольника обозначены $A, B, C, D, E, F$, то малой диагональю будет $AC$). Треугольник $ABC$ является равнобедренным, так как $AB = BC = a$. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$. Следовательно, $\angle ABC = 120^\circ$.

Для нахождения длины малой диагонали $d_2$ (стороны $AC$) применим теорему косинусов к треугольнику $ABC$:

$d_2^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

$d_2^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(120^\circ)$

Поскольку $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, подставим это значение в уравнение:

$d_2^2 = 2a^2 - 2a^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

$d_2^2 = 2a^2 + a^2$

$d_2^2 = 3a^2$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти $d_2$:

$d_2 = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

Подставим заданное значение стороны $a = 8$ см:

$d_2 = 8\sqrt{3}$ см.

Ответ

Длины диагоналей правильного шестиугольника равны $16$ см (большие диагонали) и $8\sqrt{3}$ см (малые диагонали).

397. Выразите площадь правильного восьмиугольника через длины его большей и меньшей диагоналей.

Дано: Правильный восьмиугольник. $D_B$ - длина его большей диагонали, $D_M$ - длина его меньшей диагонали.

Найти: Площадь $S$ восьмиугольника через $D_B$ и $D_M$.

Решение

Рассмотрим правильный восьмиугольник, вписанный в окружность радиуса $R$. Площадь правильного $n$-угольника, вписанного в окружность радиуса $R$, выражается формулой:

$S = \frac{n}{2} R^2 \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$

Для правильного восьмиугольника $n=8$. Подставим это значение в формулу:

$S = \frac{8}{2} R^2 \sin\left(\frac{2\pi}{8}\right) = 4 R^2 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$

Поскольку $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$S = 4 R^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} R^2$

Теперь выразим длины большей и меньшей диагоналей восьмиугольника через радиус $R$ описанной окружности.

Большая диагональ ($D_B$) правильного восьмиугольника соединяет две противоположные вершины и, следовательно, проходит через центр описанной окружности. Ее длина равна диаметру этой окружности:

$D_B = 2R$

Меньшая диагональ ($D_M$) правильного восьмиугольника соединяет вершины, между которыми находится одна другая вершина (например, вершины $V_1$ и $V_3$). Рассмотрим треугольник, образованный центром восьмиугольника $O$ и этими двумя вершинами, т.е. $\triangle OV_1V_3$. Стороны $OV_1$ и $OV_3$ являются радиусами описанной окружности, т.е. равны $R$. Угол между этими радиусами $\angle V_1OV_3$ равен двум центральным углам восьмиугольника. Центральный угол равен $\frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$. Таким образом, $\angle V_1OV_3 = 2 \times 45^\circ = 90^\circ$.

Применим теорему косинусов к треугольнику $\triangle OV_1V_3$ для нахождения $D_M$:

$D_M^2 = R^2 + R^2 - 2R \cdot R \cos(90^\circ)$

Так как $\cos(90^\circ) = 0$, получаем:

$D_M^2 = 2R^2$

Отсюда, $D_M = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$

Мы получили следующие соотношения:

• Площадь: $S = 2\sqrt{2} R^2$
• Большая диагональ: $D_B = 2R$
• Меньшая диагональ: $D_M = R\sqrt{2}$

Чтобы выразить площадь через $D_B$ и $D_M$, рассмотрим произведение этих диагоналей:

$D_B D_M = (2R)(R\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} R^2$

Сравнивая это выражение с формулой для площади $S$, видим, что они совпадают:

$S = D_B D_M$

Ответ: $S = D_B D_M$

398. a) Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки, взятой внутри правильного $n$-угольника, до прямых, содержащих его стороны, постоянна.

б) Внутри правильного шестиугольника со стороной $2\sqrt{3}$ дм взята произвольная точка. Найдите сумму расстояний от этой точки до прямых, на которых лежат стороны этого шестиугольника.

а) Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки, взятой внутри правильного n-угольника, до прямых, содержащих его стороны, постоянна.

Решение

Рассмотрим произвольный правильный $n$-угольник со стороной $a$. Пусть $P$ — произвольная точка, расположенная внутри этого $n$-угольника. Обозначим расстояния от точки $P$ до прямых, содержащих стороны многоугольника, как $h_1, h_2, \dots, h_n$.

Соединим точку $P$ с каждой вершиной $n$-угольника. Это действие разбивает $n$-угольник на $n$ треугольников. Каждая сторона $n$-угольника является основанием одного из этих треугольников, а соответствующее расстояние $h_i$ является высотой этого треугольника, опущенной из вершины $P$ на эту сторону.

Площадь каждого $i$-го треугольника ($S_i$) может быть выражена как: $S_i = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_i$

Общая площадь $n$-угольника ($S$) равна сумме площадей всех $n$ треугольников: $S = S_1 + S_2 + \dots + S_n$ $S = \frac{1}{2} a h_1 + \frac{1}{2} a h_2 + \dots + \frac{1}{2} a h_n$ $S = \frac{1}{2} a (h_1 + h_2 + \dots + h_n)$

Обозначим сумму расстояний как $\Sigma h = h_1 + h_2 + \dots + h_n$. Тогда: $S = \frac{1}{2} a \Sigma h$

Из этого уравнения выразим сумму расстояний: $\Sigma h = \frac{2S}{a}$

Для заданного правильного $n$-угольника его площадь $S$ и длина стороны $a$ являются постоянными величинами. Следовательно, их отношение $\frac{S}{a}$ также является постоянной величиной, а значит, и сумма расстояний $\Sigma h$ является постоянной для любой точки внутри $n$-угольника.

Заметим, что если точка $P$ совпадает с центром правильного $n$-угольника, то все расстояния $h_i$ равны апофеме (радиусу вписанной окружности) $r$ многоугольника. В этом случае $\Sigma h = n \cdot r$. Также известно, что площадь правильного $n$-угольника выражается как $S = \frac{1}{2} n a r$. Подставляя это в формулу для $\Sigma h$: $\Sigma h = \frac{2 (\frac{1}{2} n a r)}{a} = \frac{n a r}{a} = n r$

Это подтверждает, что сумма расстояний постоянна и равна $n$ умноженному на апофему многоугольника.

Ответ: Сумма расстояний от произвольной точки, взятой внутри правильного $n$-угольника, до прямых, содержащих его стороны, постоянна, так как она равна $n$ умноженному на апофему многоугольника, что является фиксированной величиной для данного $n$-угольника.

б) Внутри правильного шестиугольника со стороной $2\sqrt{3}$ дм взята произвольная точка. Найдите сумму расстояний от этой точки до прямых, на которых лежат стороны этого шестиугольника.

Дано:

Правильный шестиугольник ($n=6$)

Длина стороны $a = 2\sqrt{3}$ дм

Перевод в СИ:

$a = 2\sqrt{3} \text{ дм} = 2\sqrt{3} \cdot 0.1 \text{ м} \approx 0.3464 \text{ м}$

Найти:

Сумма расстояний от точки до сторон шестиугольника $\Sigma h$

Решение

Согласно доказанному в пункте а), сумма расстояний от произвольной точки внутри правильного $n$-угольника до прямых, содержащих его стороны, постоянна и равна $n$ умноженному на апофему (радиус вписанной окружности) $r$ этого многоугольника. Для правильного шестиугольника $n=6$. Формула для апофемы правильного шестиугольника со стороной $a$ имеет вид: $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Подставим значение стороны $a = 2\sqrt{3}$ дм: $r = \frac{(2\sqrt{3} \text{ дм})\sqrt{3}}{2} = \frac{2 \cdot 3 \text{ дм}}{2} = \frac{6 \text{ дм}}{2} = 3 \text{ дм}$

Теперь найдем сумму расстояний $\Sigma h$: $\Sigma h = n \cdot r = 6 \cdot 3 \text{ дм} = 18 \text{ дм}$

Ответ: Сумма расстояний от этой точки до прямых, на которых лежат стороны этого шестиугольника, составляет $18 \text{ дм}$.

399. Найдите диагонали правильного восьмиугольника, сторона которого равна 8 см.

Дано

Сторона правильного восьмиугольника $a = 8 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$a = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$.

Найти:

Длины всех различных диагоналей правильного восьмиугольника.

Решение

Правильный восьмиугольник имеет три типа различных диагоналей по длине:

• Короткая диагональ

  Короткая диагональ соединяет вершины, между которыми находится одна сторона восьмиугольника (например, $V_1$ и $V_3$). Ее длина $d_1$ может быть найдена с помощью теоремы косинусов в треугольнике, образованном двумя сторонами восьмиугольника и этой диагональю. Угол между сторонами правильного восьмиугольника равен $\alpha = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n} = \frac{(8-2) \times 180^\circ}{8} = 135^\circ$. Тогда $d_1^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos(135^\circ)$. $d_1^2 = 2a^2 - 2a^2(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2a^2 + a^2\sqrt{2} = a^2(2+\sqrt{2})$. $d_1 = a\sqrt{2+\sqrt{2}}$.

  Подставляем $a=8 \text{ см}$: $d_1 = 8\sqrt{2+\sqrt{2}} \text{ см}$.

  Приблизительное значение: $d_1 \approx 8 \times 1.847759 \approx 14.782 \text{ см}$.

  Ответ: $8\sqrt{2+\sqrt{2}} \text{ см}$

• Средняя диагональ

  Средняя диагональ соединяет вершины, между которыми находятся две стороны восьмиугольника (например, $V_1$ и $V_4$). Ее длина $d_2$ может быть выражена через сторону $a$. Радиус описанной окружности $R = \frac{a}{2\sin(\pi/8)}$. Длина средней диагонали $d_2 = 2R \sin(3\pi/8)$. $d_2 = \frac{a}{\sin(\pi/8)} \sin(3\pi/8)$. Поскольку $\sin(3\pi/8) = \cos(\pi/2 - 3\pi/8) = \cos(\pi/8)$, то $d_2 = a \frac{\cos(\pi/8)}{\sin(\pi/8)} = a \cot(\pi/8)$. Используя значения $\sin(\pi/8) = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$ и $\cos(\pi/8) = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$, получаем: $d_2 = a \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}/2}{\sqrt{2-\sqrt{2}}/2} = a \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{\sqrt{2-\sqrt{2}}}$. Домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2+\sqrt{2}}$: $d_2 = a \frac{(\sqrt{2+\sqrt{2}})^2}{\sqrt{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}} = a \frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{4-2}} = a \frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = a \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}} = a(1+\sqrt{2})$.

  Подставляем $a=8 \text{ см}$: $d_2 = 8(1+\sqrt{2}) \text{ см}$.

  Приблизительное значение: $d_2 \approx 8 \times 2.414214 \approx 19.314 \text{ см}$.

  Ответ: $8(1+\sqrt{2}) \text{ см}$

• Длинная диагональ

  Длинная диагональ соединяет противоположные вершины восьмиугольника, проходя через его центр (например, $V_1$ и $V_5$). Ее длина $d_3$ равна диаметру описанной окружности, $d_3 = 2R$. Радиус описанной окружности $R = \frac{a}{2\sin(\pi/8)}$. Тогда $d_3 = \frac{a}{\sin(\pi/8)}$. Используем $\sin(\pi/8) = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$: $d_3 = \frac{a}{\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}} = \frac{2a}{\sqrt{2-\sqrt{2}}}$. Домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2+\sqrt{2}}$: $d_3 = \frac{2a\sqrt{2+\sqrt{2}}}{\sqrt{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}} = \frac{2a\sqrt{2+\sqrt{2}}}{\sqrt{4-2}} = \frac{2a\sqrt{2+\sqrt{2}}}{\sqrt{2}} = a\sqrt{2}\sqrt{2+\sqrt{2}} = a\sqrt{2(2+\sqrt{2})} = a\sqrt{4+2\sqrt{2}}$.

  Подставляем $a=8 \text{ см}$: $d_3 = 8\sqrt{4+2\sqrt{2}} \text{ см}$.

  Приблизительное значение: $d_3 \approx 8 \times 2.613126 \approx 20.905 \text{ см}$.

  Ответ: $8\sqrt{4+2\sqrt{2}} \text{ см}$

Ответ: Короткая диагональ $8\sqrt{2+\sqrt{2}} \text{ см}$, средняя диагональ $8(1+\sqrt{2}) \text{ см}$, длинная диагональ $8\sqrt{4+2\sqrt{2}} \text{ см}$.

400. Вычислите площадь поперечного сечения дерева, если его обхват равен 88 см.

Дано:

Обхват дерева (длина окружности поперечного сечения) $C = 88 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$C = 88 \text{ см} = 0.88 \text{ м}$

Найти:

Площадь поперечного сечения дерева $S$

Решение:

Предполагается, что поперечное сечение дерева имеет форму круга. Обхват дерева в этом случае является длиной окружности этого круга.

Формула для длины окружности $C$ с радиусом $r$:

$C = 2\pi r$

Из этой формулы выразим радиус $r$:

$r = \frac{C}{2\pi}$

Площадь $S$ круга с радиусом $r$ вычисляется по формуле:

$S = \pi r^2$

Подставим выражение для $r$ в формулу для площади $S$:

$S = \pi \left(\frac{C}{2\pi}\right)^2$

$S = \pi \frac{C^2}{(2\pi)^2}$

$S = \pi \frac{C^2}{4\pi^2}$

$S = \frac{C^2}{4\pi}$

Теперь подставим числовое значение обхвата $C = 88 \text{ см}$:

$S = \frac{(88 \text{ см})^2}{4\pi}$

$S = \frac{7744 \text{ см}^2}{4\pi}$

$S = \frac{1936}{\pi} \text{ см}^2$

Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$:

$S \approx \frac{1936}{3.14159} \text{ см}^2 \approx 616.26 \text{ см}^2$

Для ответа в системе СИ (квадратных метрах), используем значение $C = 0.88 \text{ м}$:

$S = \frac{(0.88 \text{ м})^2}{4\pi}$

$S = \frac{0.7744 \text{ м}^2}{4\pi}$

$S = \frac{0.1936}{\pi} \text{ м}^2$

$S \approx \frac{0.1936}{3.14159} \text{ м}^2 \approx 0.061626 \text{ м}^2$

Ответ:

Площадь поперечного сечения дерева составляет приблизительно $616.26 \text{ см}^2$ (или $0.061626 \text{ м}^2$).

401. Дуга $AB$ составляет $135^\circ$, а ее длина равна $a$. Найдите длину хорды $AB$.

Дано:

Угол дуги $AB$: $\alpha = 135^\circ$

Длина дуги $AB$: $L_{AB} = a$

Перевод в СИ:

Угол $\alpha$ в радианах: $\alpha_{rad} = 135^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{3\pi}{4}$ радиан.

Найти:

Длина хорды $AB$: $l_{AB}$

Решение:

1. Для начала найдем радиус окружности $R$. Длина дуги $L_{AB}$ связана с радиусом $R$ и центральным углом $\alpha$ (в градусах) формулой:

$L_{AB} = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$

Подставим известные значения:

$a = \frac{\pi R \cdot 135^\circ}{180^\circ}$

Упростим дробь $\frac{135}{180}$:

$\frac{135}{180} = \frac{3 \cdot 45}{4 \cdot 45} = \frac{3}{4}$

Тогда уравнение примет вид:

$a = \frac{3\pi R}{4}$

Выразим радиус $R$ из этого уравнения:

$R = \frac{4a}{3\pi}$

2. Теперь найдем длину хорды $AB$. Длина хорды, стягивающей дугу с центральным углом $\alpha$, вычисляется по формуле:

$l_{AB} = 2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Подставим найденное значение $R$ и данное значение $\alpha$:

$l_{AB} = 2 \cdot \left(\frac{4a}{3\pi}\right) \cdot \sin\left(\frac{135^\circ}{2}\right)$

$l_{AB} = \frac{8a}{3\pi} \cdot \sin(67.5^\circ)$

Для вычисления $\sin(67.5^\circ)$ воспользуемся формулой половинного угла $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$. Здесь $\theta = 135^\circ$.

$\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(67.5^\circ) = \sqrt{\frac{1 - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$

Подставим это значение обратно в выражение для $l_{AB}$:

$l_{AB} = \frac{8a}{3\pi} \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$

$l_{AB} = \frac{4a\sqrt{2+\sqrt{2}}}{3\pi}$

Ответ: $l_{AB} = \frac{4a\sqrt{2+\sqrt{2}}}{3\pi}$

402. Найдите площадь сектора, если его радиус 5 м, а длина дуги равна:

a) 1 м;

б) 2,5 м.

Дано

Радиус сектора $R = 5$ м.

Перевод в СИ

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Площадь сектора $S$.

Решение

Площадь сектора можно найти по формуле, используя длину дуги $L$ и радиус $R$:

$S = \frac{1}{2} L R$

a)

В этом случае длина дуги $L = 1$ м.

Подставим известные значения в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 1 \text{ м} \cdot 5 \text{ м}$

$S = 2.5 \text{ м}^2$

Ответ: $2.5 \text{ м}^2$

б)

В этом случае длина дуги $L = 2.5$ м.

Подставим известные значения в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 2.5 \text{ м} \cdot 5 \text{ м}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 12.5 \text{ м}^2$

$S = 6.25 \text{ м}^2$

Ответ: $6.25 \text{ м}^2$

403. Найдите радиус сектора, если радианная мера его дуги $\frac{2\pi}{5}$, а площадь равна $45\pi \, \text{м}^2$.

Дано:

Радианная мера дуги (центральный угол сектора) $\alpha = \frac{2\pi}{5}$ рад

Площадь сектора $S = 45\pi$ м$^2$

Перевод в систему СИ:

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Радиус сектора $R$

Решение:

Площадь сектора $S$ с радиусом $R$ и центральным углом $\alpha$ (в радианах) определяется формулой:

$S = \frac{1}{2} R^2 \alpha$

Подставим известные значения в эту формулу:

$45\pi = \frac{1}{2} R^2 \left(\frac{2\pi}{5}\right)$

Упростим правую часть уравнения:

$45\pi = R^2 \left(\frac{\pi}{5}\right)$

Разделим обе части уравнения на $\pi$:

$45 = R^2 \left(\frac{1}{5}\right)$

Чтобы найти $R^2$, умножим обе части уравнения на $5$:

$45 \cdot 5 = R^2$

$225 = R^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Поскольку радиус не может быть отрицательным, мы берем только положительное значение:

$R = \sqrt{225}$

$R = 15$

Единица измерения радиуса будет метры, так как площадь задана в квадратных метрах.

Ответ:

$15$ м

404. Найдите радиус окружности, длина которой и площадь ограниченного ею круга выражаются одним и тем же числом.

Дано

Длина окружности $L$ и площадь круга $S$ выражаются одним и тем же числом, то есть $L = S$.

Найти:

Радиус окружности $R$.

Решение

Формула для длины окружности (периметра круга) с радиусом $R$ следующая:

$L = 2\pi R$

Формула для площади круга с радиусом $R$ следующая:

$S = \pi R^2$

По условию задачи, длина окружности и площадь круга выражаются одним и тем же числом, поэтому мы можем приравнять эти две формулы:

$2\pi R = \pi R^2$

Перенесем все члены в одну сторону:

$\pi R^2 - 2\pi R = 0$

Вынесем общий множитель $\pi R$ за скобки:

$\pi R(R - 2) = 0$

Это уравнение имеет два возможных решения:

1. $\pi R = 0 \implies R = 0$

2. $R - 2 = 0 \implies R = 2$

Радиус $R = 0$ соответствует вырожденному кругу (точке), у которого и длина окружности, и площадь равны нулю. Обычно под окружностью подразумевается фигура с ненулевым радиусом. Поэтому решением, соответствующим смыслу задачи, является $R = 2$.

Ответ:

Радиус окружности равен 2.