Страница 179 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

436. Точка $C$ делит хорду $AB$ окружности на отрезки длиной 12 см и 14 см. Найдите радиус этой окружности, если расстояние от ее центра до точки $C$ равно 11 см.

Дано:

$AC = 12 \text{ см}$

$CB = 14 \text{ см}$

$OC = 11 \text{ см}$ (расстояние от центра окружности $O$ до точки $C$)

Перевод в СИ:

$AC = 0.12 \text{ м}$

$CB = 0.14 \text{ м}$

$OC = 0.11 \text{ м}$

Найти:

$R$ - радиус окружности

Решение:

Для решения задачи воспользуемся теоремой о произведении отрезков хорд. Если две хорды окружности пересекаются в точке, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Пусть хорда $AB$ пересекается с некоторой другой хордой $PQ$ в точке $C$. В качестве хорды $PQ$ выберем диаметр, проходящий через точку $C$ и центр окружности $O$.

Тогда, согласно теореме о произведении отрезков хорд, имеем:

$AC \cdot CB = PC \cdot CQ$

Мы знаем, что $AC = 12$ см и $CB = 14$ см. Следовательно, произведение отрезков хорды $AB$ равно:

$AC \cdot CB = 12 \text{ см} \cdot 14 \text{ см} = 168 \text{ см}^2$

Теперь рассмотрим диаметр $PQ$, проходящий через центр $O$ и точку $C$. Пусть $R$ - радиус окружности.

Длина отрезка $PO$ равна радиусу $R$, и длина отрезка $QO$ также равна радиусу $R$.

Точка $C$ находится на расстоянии $OC = 11$ см от центра $O$.

Тогда отрезки диаметра $PQ$, на которые он делится точкой $C$, будут равны:

$PC = PO + OC = R + 11 \text{ см}$ (если $P$ находится дальше от $C$ по одну сторону от $O$)

$CQ = QO - OC = R - 11 \text{ см}$ (если $Q$ находится ближе к $C$ по другую сторону от $O$)

Примечание: Если бы $C$ находилась между $P$ и $O$, то $PC = R - 11$, а $CQ = R + 11$. В любом случае произведение будет одинаковым.

Произведение отрезков диаметра $PQ$ равно:

$PC \cdot CQ = (R + 11)(R - 11)$

Используя формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $, получаем:

$PC \cdot CQ = R^2 - 11^2$

$PC \cdot CQ = R^2 - 121$

Приравниваем произведения отрезков хорд:

$168 = R^2 - 121$

Теперь решим уравнение относительно $R^2$:

$R^2 = 168 + 121$

$R^2 = 289$

Находим радиус $R$, извлекая квадратный корень:

$R = \sqrt{289}$

$R = 17 \text{ см}$

Ответ: $17 \text{ см}$

437. a) Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, равна 6 см. Найдите площадь квадрата, вписанного в эту же окружность.

б) Около квадрата со стороной 4 дм описана окружность, а около окружности – правильный шестиугольник. Найдите площадь этого шестиугольника.

a)

Дано:

Сторона правильного треугольника $a_3 = 6$ см

Перевод в СИ:

Сторона правильного треугольника $a_3 = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Площадь квадрата $S_4$

Решение:

Радиус $R$ окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a_3$, находится по формуле: $a_3 = R\sqrt{3}$.

Отсюда $R = \frac{a_3}{\sqrt{3}}$.

Подставим значение $a_3 = 6$ см:

$R = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Для квадрата, вписанного в ту же окружность, сторона $a_4$ связана с радиусом $R$ формулой: $a_4 = R\sqrt{2}$.

Подставим найденное значение $R$:

$a_4 = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{6}$ см.

Площадь квадрата $S_4$ равна $a_4^2$.

$S_4 = (2\sqrt{6})^2 = 4 \cdot 6 = 24$ см$^2$.

Ответ: $24 \text{ см}^2$

b)

Дано:

Сторона квадрата $a_4 = 4$ дм

Перевод в СИ:

Сторона квадрата $a_4 = 4 \text{ дм} = 0.4 \text{ м}$

Найти:

Площадь правильного шестиугольника $S_6$

Решение:

Радиус $R$ окружности, описанной около квадрата со стороной $a_4$, равен половине его диагонали. Диагональ квадрата $d = a_4\sqrt{2}$.

Следовательно, $R = \frac{d}{2} = \frac{a_4\sqrt{2}}{2}$.

Подставим значение $a_4 = 4$ дм:

$R = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ дм.

Правильный шестиугольник описан около этой же окружности. Это означает, что радиус данной окружности $R$ является радиусом вписанной окружности для шестиугольника (его апофемой). Обозначим его $r_{in\_6}$.

$r_{in\_6} = R = 2\sqrt{2}$ дм.

Сторона правильного шестиугольника $a_6$, описанного около окружности радиуса $r_{in\_6}$, находится по формуле: $a_6 = \frac{2r_{in\_6}}{\sqrt{3}}$.

Подставим значение $r_{in\_6}$:

$a_6 = \frac{2(2\sqrt{2})}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ дм.

Площадь правильного шестиугольника $S_6$ можно найти по формуле $S_6 = \frac{3\sqrt{3}}{2}a_6^2$ или $S_6 = 3\sqrt{3}r_{in\_6}^2$. Используем вторую формулу, так как $r_{in\_6}$ у нас уже есть.

$S_6 = 3\sqrt{3} (2\sqrt{2})^2 = 3\sqrt{3} (4 \cdot 2) = 3\sqrt{3} \cdot 8 = 24\sqrt{3}$ дм$^2$.

Перепроверим расчеты, используя формулу $S_6 = \frac{3\sqrt{3}}{2}a_6^2$:

$S_6 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \frac{16 \cdot 2}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \frac{32}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 32 = 16\sqrt{3}$ дм$^2$.

Ошибка в одной из формул для площади шестиугольника. Формула для площади правильного шестиугольника, описанного вокруг окружности радиуса $R$, это $S_6 = 2\sqrt{3}R^2$. Это происходит потому, что $a_6 = \frac{2R}{\sqrt{3}}$.$S_6 = \frac{3\sqrt{3}}{2}a_6^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \frac{4R^2}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} 4R^2 = 2\sqrt{3}R^2$.Значит, формула $S_6 = 2\sqrt{3}R^2$ верна, где $R$ - радиус вписанной окружности для шестиугольника.

Таким образом:

$S_6 = 2\sqrt{3} (2\sqrt{2})^2 = 2\sqrt{3} (4 \cdot 2) = 2\sqrt{3} \cdot 8 = 16\sqrt{3}$ дм$^2$.

Ответ: $16\sqrt{3} \text{ дм}^2$

438. Расстояние от центра вписанной в прямоугольную трапецию окружности до концов большей боковой стороны равны 6 см и 8 см. Найдите площадь трапеции.

Дано:

Трапеция ABCD - прямоугольная.
В трапецию вписана окружность.
$O$ - центр вписанной окружности.
$BC$ - большая боковая сторона.
Расстояние от $O$ до $B$: $OB = 6 \text{ см}$.
Расстояние от $O$ до $C$: $OC = 8 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$OB = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$
$OC = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Площадь трапеции $S$.

Решение:

1. Поскольку центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов, то $BO$ и $CO$ являются биссектрисами углов $B$ и $C$ соответственно. В любой трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle B + \angle C = 180^\circ$.
В треугольнике $BOC$ сумма углов составляет $180^\circ$. Углы $\angle OBC = \frac{1}{2} \angle B$ и $\angle OCB = \frac{1}{2} \angle C$.
Тогда $\angle BOC = 180^\circ - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^\circ - \left(\frac{1}{2} \angle B + \frac{1}{2} \angle C\right) = 180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Таким образом, треугольник $BOC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$.

2. Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $BOC$, найдем длину боковой стороны $BC$:
$BC^2 = OB^2 + OC^2$
$BC^2 = 6^2 + 8^2$
$BC^2 = 36 + 64$
$BC^2 = 100$
$BC = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$.

3. Пусть $r$ - радиус вписанной окружности. Высота трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности, т.е. $h = 2r$.
Радиус $r$ также является высотой, опущенной из вершины прямого угла $O$ на гипотенузу $BC$ в треугольнике $BOC$, поскольку гипотенуза $BC$ является касательной к окружности.
Площадь прямоугольного треугольника $BOC$ может быть вычислена двумя способами:
$S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot OC$
$S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot r$
Приравниваем эти выражения:
$\frac{1}{2} \cdot OB \cdot OC = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot r$
$OB \cdot OC = BC \cdot r$
$6 \cdot 8 = 10 \cdot r$
$48 = 10r$
$r = \frac{48}{10} = 4.8 \text{ см}$.

4. Высота трапеции $h$ равна удвоенному радиусу:
$h = 2r = 2 \cdot 4.8 = 9.6 \text{ см}$.

5. Для трапеции, в которую можно вписать окружность, сумма длин оснований ($a+b$) равна сумме длин боковых сторон ($h+BC$). В данном случае, одна боковая сторона - это высота трапеции $h$, а другая - $BC$.
$a+b = h+BC$
$a+b = 9.6 + 10 = 19.6 \text{ см}$.

6. Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$.
$S = \frac{19.6}{2} \cdot 9.6$
$S = 9.8 \cdot 9.6$
$S = 94.08 \text{ см}^2$.

Ответ: 94.08 см$^2$

439. В окружность вписан треугольник, одна сторона которого равна $2\sqrt{3}$ см. Найдите:

а) радиус этой окружности, если угол, лежащий против данной стороны, равен $120^{\circ}$;

б) угол, лежащий против данной стороны, если она удалена от центра окружности на расстояние, равное 1 см.

Дано:

Треугольник вписан в окружность.

Длина одной стороны треугольника $a = 2\sqrt{3}$ см.

Перевод в СИ:

$a = 2\sqrt{3} \text{ см} = 2\sqrt{3} \cdot 10^{-2} \text{ м}$

Расстояние от центра окружности до стороны $h = 1 \text{ см} = 1 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

Найти:

а) радиус окружности $R$, если угол, лежащий против данной стороны, $\alpha = 120^\circ$.

б) угол $\alpha$, лежащий против данной стороны, если она удалена от центра окружности на расстояние $h = 1$ см.

Решение:

а) радиус этой окружности, если угол, лежащий против данной стороны, равен 120°

Для треугольника, вписанного в окружность, радиус описанной окружности $R$ связан со стороной $a$ и противолежащим углом $\alpha$ по теореме синусов: $ \frac{a}{\sin \alpha} = 2R $.

Из этой формулы выразим радиус $ R = \frac{a}{2 \sin \alpha} $.

Нам даны: $a = 2\sqrt{3}$ см и $\alpha = 120^\circ$.

Найдем значение $\sin 120^\circ$: $ \sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Подставим значения в формулу для $R$:

$ R = \frac{2\sqrt{3} \text{ см}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{3} \text{ см}}{\sqrt{3}} = 2 \text{ см} $.

Ответ: $2 \text{ см}$

б) угол, лежащий против данной стороны, если она удалена от центра окружности на расстояние, равное 1 см.

Пусть сторона треугольника, о которой идет речь, является хордой окружности. Расстояние от центра окружности до хорды ($h$) представляет собой перпендикуляр, опущенный из центра на эту хорду. Этот перпендикуляр делит хорду пополам.

Таким образом, образуется прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является радиус окружности $R$, а катетами — половина длины стороны ($a/2$) и расстояние от центра до стороны ($h$).

Из условия задачи нам известны: длина стороны $a = 2\sqrt{3}$ см, следовательно, $a/2 = \sqrt{3}$ см. Расстояние от центра до стороны $h = 1$ см.

Используем теорему Пифагора для нахождения радиуса $R$: $ R^2 = h^2 + (a/2)^2 $.

$ R^2 = (1 \text{ см})^2 + (\sqrt{3} \text{ см})^2 = 1 + 3 = 4 $.

$ R = \sqrt{4} = 2 \text{ см} $.

Заметим, что радиус окружности оказался таким же, как и в пункте а), что говорит о том, что речь идет об одной и той же окружности или об окружностях с одинаковым радиусом.

Теперь найдем угол $\alpha$, лежащий против данной стороны. Вписанный угол $\alpha$ равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Центральный угол равен $2\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом $R$, расстоянием $h$ и половиной стороны $a/2$. Угол, противолежащий катету $a/2$ или прилежащий к катету $h$, равен половине центрального угла, т.е. $\alpha$.

Используем соотношение в прямоугольном треугольнике: $ \cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{h}{R} $.

Подставим известные значения $h = 1$ см и $R = 2$ см:

$ \cos \alpha = \frac{1 \text{ см}}{2 \text{ см}} = \frac{1}{2} $.

Известно, что $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $.

Следовательно, $ \alpha = 60^\circ $.

Ответ: $60^\circ$

440. Найдите площадь круга, вписанного в треугольник со сторонами 15 м, 15 м, 24 м.

Дано:

Треугольник со сторонами $a=15$ м, $b=15$ м, $c=24$ м.

Перевод в СИ:

Все данные уже представлены в системе СИ (метры), поэтому перевод не требуется.

Найти:

Площадь круга, вписанного в треугольник, $A_c$.

Решение:

Для нахождения площади круга, вписанного в треугольник, нам необходимо определить радиус $r$ этого круга. Площадь круга $A_c$ вычисляется по формуле: $A_c = \pi r^2$. Радиус вписанного круга $r$ можно найти, используя площадь треугольника $S$ и его полупериметр $p$ по формуле: $r = \frac{S}{p}$.

1. Вычислим полупериметр $p$ треугольника: $p = \frac{a+b+c}{2}$ $p = \frac{15 + 15 + 24}{2} = \frac{54}{2} = 27$ м

2. Найдем площадь $S$ треугольника. Поскольку треугольник имеет две одинаковые стороны (15 м, 15 м), он является равнобедренным. Опустим высоту $h$ из вершины между равными сторонами на основание $c=24$ м. Эта высота разделит основание на две равные части: $24/2 = 12$ м. Образуются два прямоугольных треугольника, в каждом из которых гипотенуза равна 15 м, один катет равен 12 м, а второй катет - это высота $h$. По теореме Пифагора для одного из таких прямоугольных треугольников: $h^2 + 12^2 = 15^2$ $h^2 + 144 = 225$ $h^2 = 225 - 144$ $h^2 = 81$ $h = \sqrt{81} = 9$ м

Теперь, зная высоту и основание, вычислим площадь $S$ треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$ $S = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 9 = 12 \cdot 9 = 108$ м$^2$

3. Найдем радиус $r$ вписанной окружности, используя формулу $r = \frac{S}{p}$: $r = \frac{108}{27} = 4$ м

4. Вычислим площадь $A_c$ круга, вписанного в треугольник: $A_c = \pi r^2$ $A_c = \pi \cdot (4)^2 = 16\pi$ м$^2$

Ответ:

$16\pi$ м$^2$

441. В прямоугольном $\triangle ABC (\angle C = 90^\circ) AC = 18$ см, $\angle B = 60^\circ$.

Построен круг с центром в точке C, касающийся гипотенузы.

Найдите площадь сектора, заключенного внутри треугольника.

Прямоугольный треугольник $\triangle ABC$. Угол $C = 90^\circ$. Длина стороны $AC = 18$ см. Угол $B = 60^\circ$. Построен круг с центром в точке $C$, касающийся гипотенузы $AB$.

$AC = 18 \text{ см} = 0.18 \text{ м}$.

Площадь сектора, заключенного внутри треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$.

Так как $\angle C = 90^\circ$ и $\angle B = 60^\circ$, то $\angle A = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Круг построен с центром в точке $C$ и касается гипотенузы $AB$. Это означает, что радиус $R$ этого круга равен длине высоты $CH$, опущенной из вершины $C$ на гипотенузу $AB$.

Для нахождения высоты $CH$ воспользуемся тригонометрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ катет $AC$ прилегает к углу $A$ и противолежит углу $B$. Высоту $CH$ можно найти из треугольника $\triangle CHA$, который также является прямоугольным (так как $CH \perp AB$).

В $\triangle CHA$: $\angle CHA = 90^\circ$. Мы знаем $AC = 18$ см и $\angle A = 30^\circ$.

Радиус $R$ равен высоте $CH$. Используем синус угла $A$:

$CH = AC \cdot \sin(\angle A)$

$R = 18 \text{ см} \cdot \sin(30^\circ)$

$R = 18 \text{ см} \cdot \frac{1}{2}$

$R = 9$ см.

Таким образом, радиус сектора $R = 9$ см.

Угол сектора, заключенного внутри треугольника, равен углу $C$ треугольника, то есть $90^\circ$.

Площадь сектора $S_{сектора}$ вычисляется по формуле: $S_{сектора} = \pi R^2 \frac{\text{угол сектора}}{360^\circ}$.

$S_{сектора} = \pi (9 \text{ см})^2 \frac{90^\circ}{360^\circ}$

$S_{сектора} = \pi \cdot 81 \text{ см}^2 \cdot \frac{1}{4}$

$S_{сектора} = \frac{81\pi}{4}$ см$^2$.

Площадь сектора, заключенного внутри треугольника, равна $\frac{81\pi}{4}$ см$^2$.

442. Прямая, пересекающая окружность, делит ее на две дуги, длины которых относятся как $1 : 3$. В каком отношении эта прямая делит площадь круга?

Дано:

Окружность, прямая пересекает окружность.

Длины двух дуг, на которые прямая делит окружность, относятся как $1:3$.

Найти:

В каком отношении эта прямая делит площадь круга.

Решение:

Пусть $L_1$ и $L_2$ — длины двух дуг, на которые прямая делит окружность. Дано, что $L_1 : L_2 = 1 : 3$.

Суммарная длина окружности $L = L_1 + L_2$. Мы можем представить длины дуг как $L_1 = k$ и $L_2 = 3k$ для некоторого коэффициента $k$. Тогда полная длина окружности $L = 4k$.

Длины дуг пропорциональны соответствующим центральным углам. Пусть $\alpha_1$ и $\alpha_2$ — центральные углы, стягивающие эти дуги. Тогда $\alpha_1 : \alpha_2 = 1 : 3$.

Сумма центральных углов, соответствующих полной окружности, составляет $360^\circ$ или $2\pi$ радиан. Таким образом, $\alpha_1 + \alpha_2 = 2\pi$.

Пусть $\alpha_1 = x$ и $\alpha_2 = 3x$.

Тогда $x + 3x = 2\pi \Rightarrow 4x = 2\pi \Rightarrow x = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ радиан.

Следовательно, центральные углы равны:

$\alpha_1 = \frac{\pi}{2}$ радиан ($90^\circ$).

$\alpha_2 = 3 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$ радиан ($270^\circ$).

Прямая (хорда) делит круг на два сегмента. Площадь кругового сегмента с центральным углом $\alpha$ (в радианах) и радиусом $R$ вычисляется по формуле: $S_{сегмента} = \frac{1}{2}R^2(\alpha - \sin \alpha)$.

Пусть $S_1$ — площадь меньшего сегмента, соответствующего углу $\alpha_1 = \frac{\pi}{2}$.

$S_1 = \frac{1}{2}R^2(\frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2})$

Так как $\sin \frac{\pi}{2} = 1$, получаем:

$S_1 = \frac{1}{2}R^2(\frac{\pi}{2} - 1)$

Пусть $S_2$ — площадь большего сегмента. Общая площадь круга $S_{круга} = \pi R^2$.

Тогда $S_2 = S_{круга} - S_1 = \pi R^2 - \frac{1}{2}R^2(\frac{\pi}{2} - 1)$

Вынесем $R^2$ за скобки:

$S_2 = R^2(\pi - \frac{1}{2}(\frac{\pi}{2} - 1))$

$S_2 = R^2(\pi - \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2})$

Приведем члены с $\pi$ к общему знаменателю:

$S_2 = R^2(\frac{4\pi - \pi}{4} + \frac{1}{2})$

$S_2 = R^2(\frac{3\pi}{4} + \frac{1}{2})$

Для удобства дальнейших вычислений умножим содержимое скобок на 2 и поделим на 2:

$S_2 = \frac{1}{2}R^2(\frac{3\pi}{2} + 1)$

Теперь найдем отношение площадей $S_1 : S_2$:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{1}{2}R^2(\frac{\pi}{2} - 1)}{\frac{1}{2}R^2(\frac{3\pi}{2} + 1)}$

Сократим $\frac{1}{2}R^2$:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{\pi}{2} - 1}{\frac{3\pi}{2} + 1}$

Умножим числитель и знаменатель на 2, чтобы избавиться от дробей:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{(\frac{\pi}{2} - 1) \cdot 2}{(\frac{3\pi}{2} + 1) \cdot 2}$

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi - 2}{3\pi + 2}$

Это и есть искомое отношение.

Ответ:

Прямая делит площадь круга в отношении $\frac{\pi - 2}{3\pi + 2}$.

443. Найдите углы трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$), если она:

а) прямоугольная с острым углом $D$ и $|\vec{AC} + \vec{BA} + \vec{DA}| = |\vec{BA}|$;

б) равнобедренная и $|\vec{DB} - \vec{DC} + \vec{AD}| = |\vec{AB}|$.

Дано:

Трапеция $ABCD$, $BC \parallel AD$.

Найти:

Углы трапеции $A, B, C, D$.

Решение

а) прямоугольная с острым углом D и $|\vec{AC} + \vec{BA} + \vec{DA}| = |\vec{BA}|$

Рассмотрим векторное равенство:

$|\vec{AC} + \vec{BA} + \vec{DA}| = |\vec{BA}|$

Используем правило сложения векторов (правило треугольника): $\vec{BA} + \vec{AC} = \vec{BC}$.

Тогда выражение в левой части становится:

$|\vec{BC} + \vec{DA}|$

В трапеции $ABCD$ основание $BC$ параллельно основанию $AD$. Это означает, что векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ параллельны и сонаправлены. Вектор $\vec{DA}$ противоположен вектору $\vec{AD}$, то есть $\vec{DA} = -\vec{AD}$.

Следовательно, векторы $\vec{BC}$ и $\vec{DA}$ параллельны и направлены в противоположные стороны. Модуль их суммы равен модулю разности их длин:

$|\vec{BC} + \vec{DA}| = |\vec{BC} - \vec{AD}| = ||\vec{BC}| - |\vec{AD}|| = |BC - AD|$.

Также $|\vec{BA}| = AB$.

Таким образом, векторное равенство принимает вид:

$|BC - AD| = AB$.

По условию трапеция $ABCD$ прямоугольная с острым углом $D$. В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. Если угол $D$ острый, то боковая сторона $AB$ должна быть перпендикулярна основаниям $AD$ и $BC$.

Следовательно, $\angle A = 90^\circ$ и $\angle B = 90^\circ$.

Проведем высоту $CK$ из вершины $C$ к основанию $AD$. Поскольку $ABCD$ прямоугольная трапеция с прямыми углами при $A$ и $B$, то $ABCK$ является прямоугольником. Отсюда $CK = AB$ и $AK = BC$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle CKD$, катет $KD = AD - AK = AD - BC$.

Из равенства $|BC - AD| = AB$ следует, что $|-(AD - BC)| = AB$, то есть $|AD - BC| = AB$.

Поскольку угол $D$ острый, то основание $AD$ должно быть длиннее основания $BC$ (иначе, если $BC > AD$, то $D$ был бы тупым или прямым, а $C$ острым). Значит $AD - BC > 0$.

Тогда $AD - BC = AB$.

Подставляем это в выражение для $KD$: $KD = AB$.

Мы знаем, что $CK = AB$. Следовательно, $KD = CK$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle CKD$ катеты $CK$ и $KD$ равны. Это означает, что треугольник $\triangle CKD$ равнобедренный и прямоугольный.

Следовательно, $\angle D = 45^\circ$. (Это острый угол, что соответствует условию).

В трапеции углы, прилежащие к одной боковой стороне, в сумме дают $180^\circ$. Таким образом, $\angle C + \angle D = 180^\circ$.

$\angle C = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Углы трапеции: $\angle A = 90^\circ$, $\angle B = 90^\circ$, $\angle C = 135^\circ$, $\angle D = 45^\circ$.

Ответ: $\angle A = 90^\circ$, $\angle B = 90^\circ$, $\angle C = 135^\circ$, $\angle D = 45^\circ$.

б) равнобедренная и $|\vec{DB} - \vec{DC} + \vec{AD}| = |\vec{AB}|$

Рассмотрим векторное равенство:

$|\vec{DB} - \vec{DC} + \vec{AD}| = |\vec{AB}|$

Используем правило вычитания векторов: $\vec{DB} - \vec{DC} = \vec{CB}$ (вектор, идущий от конца второго вектора к концу первого, если их начала совпадают).

Тогда выражение в левой части становится:

$|\vec{CB} + \vec{AD}|$

В трапеции $ABCD$ основание $BC$ параллельно основанию $AD$. Векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ параллельны и сонаправлены. Вектор $\vec{CB}$ противоположен вектору $\vec{BC}$, то есть $\vec{CB} = -\vec{BC}$.

Следовательно, векторы $\vec{CB}$ и $\vec{AD}$ параллельны и направлены в противоположные стороны. Модуль их суммы равен модулю разности их длин:

$|\vec{CB} + \vec{AD}| = ||\vec{AD}| - |\vec{CB}|| = |AD - BC|$.

Также $|\vec{AB}| = AB$.

Таким образом, векторное равенство принимает вид:

$|AD - BC| = AB$.

По условию трапеция $ABCD$ равнобедренная. Это означает, что ее боковые стороны равны: $AB = CD$.

Также в равнобедренной трапеции углы при основаниях равны: $\angle A = \angle D$ и $\angle B = \angle C$.

Проведем две высоты из вершин $B$ и $C$ к основанию $AD$. Пусть это будут $BK_1$ и $CK_2$, где $K_1$ и $K_2$ лежат на $AD$.

Тогда $BK_1 = CK_2$ (высоты трапеции).

Четырехугольник $BCK_1K_2$ является прямоугольником, поэтому $K_1K_2 = BC$.

Треугольники $\triangle ABK_1$ и $\triangle DCK_2$ являются прямоугольными и конгруэнтными (по гипотенузе и катету, $AB=CD$ и $BK_1=CK_2$, или по гипотенузе и углу $\angle A=\angle D$).

Следовательно, $AK_1 = DK_2$.

Длина основания $AD = AK_1 + K_1K_2 + DK_2 = AK_1 + BC + AK_1 = 2 AK_1 + BC$.

Отсюда $AD - BC = 2 AK_1$.

Теперь подставим это в векторное равенство $|AD - BC| = AB$.

Поскольку $AD$ обычно является большей базой, то $AD > BC$. В этом случае $AD - BC > 0$. Если бы $BC > AD$, то углы $A$ и $D$ были бы тупыми, а $B$ и $C$ острыми, что мы проверим в конце.

Итак, $AD - BC = AB$.

Подставляя $AD - BC = 2 AK_1$, получаем:

$2 AK_1 = AB$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABK_1$. Катет $AK_1$ прилежит к углу $A$, а $AB$ является гипотенузой.

$\cos(\angle A) = \frac{AK_1}{AB}$.

Из равенства $AB = 2 AK_1$ следует $AK_1 = \frac{1}{2} AB$.

$\cos(\angle A) = \frac{\frac{1}{2} AB}{AB} = \frac{1}{2}$.

Следовательно, $\angle A = 60^\circ$.

Поскольку трапеция равнобедренная, $\angle D = \angle A = 60^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Так, для боковой стороны $AB$ имеем $\angle B + \angle A = 180^\circ$ (правильнее $\angle ABC + \angle DAB = 180^\circ$).

$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Поскольку трапеция равнобедренная, $\angle C = \angle B = 120^\circ$.

Полученные углы $A=60^\circ$ и $D=60^\circ$ являются острыми, что соответствует тому, что $AD$ является большей базой (если бы $BC$ была большей базой, эти углы были бы тупыми). Следовательно, наше допущение $AD > BC$ было верным.

Углы трапеции: $\angle A = 60^\circ$, $\angle B = 120^\circ$, $\angle C = 120^\circ$, $\angle D = 60^\circ$.

Ответ: $\angle A = 60^\circ$, $\angle B = 120^\circ$, $\angle C = 120^\circ$, $\angle D = 60^\circ$.

444. Какой угол образуют векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$ единичной длины, если известно, что векторы $\vec{d} + 3\vec{c}$ и $2\vec{d} + 0,4\vec{c}$ перпендикулярны?

Дано:

Векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$ единичной длины, то есть $|\vec{c}| = 1$ и $|\vec{d}| = 1$.

Векторы $\vec{u} = \vec{d} + 3\vec{c}$ и $\vec{v} = 2\vec{d} + 0.4\vec{c}$ перпендикулярны.

Найти:

Угол $\theta$ между векторами $\vec{c}$ и $\vec{d}$.

Решение:

Так как векторы $\vec{u}$ и $\vec{v}$ перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$

$(\vec{d} + 3\vec{c}) \cdot (2\vec{d} + 0.4\vec{c}) = 0$

Раскроем скалярное произведение, используя свойства дистрибутивности и коммутативности, а также то, что $\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$:

$2(\vec{d} \cdot \vec{d}) + 0.4(\vec{d} \cdot \vec{c}) + 6(\vec{c} \cdot \vec{d}) + 1.2(\vec{c} \cdot \vec{c}) = 0$

$2|\vec{d}|^2 + 0.4(\vec{c} \cdot \vec{d}) + 6(\vec{c} \cdot \vec{d}) + 1.2|\vec{c}|^2 = 0$

Приведем подобные члены:

$2|\vec{d}|^2 + 6.4(\vec{c} \cdot \vec{d}) + 1.2|\vec{c}|^2 = 0$

По условию, векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$ единичной длины, поэтому $|\vec{c}| = 1$ и $|\vec{d}| = 1$. Подставим эти значения:

$2(1)^2 + 6.4(\vec{c} \cdot \vec{d}) + 1.2(1)^2 = 0$

$2 + 6.4(\vec{c} \cdot \vec{d}) + 1.2 = 0$

$3.2 + 6.4(\vec{c} \cdot \vec{d}) = 0$

Выразим скалярное произведение $\vec{c} \cdot \vec{d}$:

$6.4(\vec{c} \cdot \vec{d}) = -3.2$

$\vec{c} \cdot \vec{d} = -\frac{3.2}{6.4}$

$\vec{c} \cdot \vec{d} = -\frac{1}{2}$

С другой стороны, скалярное произведение двух векторов определяется как $\vec{c} \cdot \vec{d} = |\vec{c}| |\vec{d}| \cos\theta$, где $\theta$ — угол между векторами $\vec{c}$ и $\vec{d}$.

Подставим известные значения:

$1 \cdot 1 \cdot \cos\theta = -\frac{1}{2}$

$\cos\theta = -\frac{1}{2}$

Чтобы найти угол $\theta$, вычислим арккосинус от $-\frac{1}{2}$:

$\theta = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$

Угол, косинус которого равен $-\frac{1}{2}$, составляет $120^\circ$ или $\frac{2\pi}{3}$ радиан.

Ответ:

Векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$ образуют угол $120^\circ$.

445. Дан правильный пятиугольник $ABCDF$, $K$ – точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BF$. Найдите угол $AKB$ и выразите его в радианах.

Дано:

Правильный пятиугольник ABCDF.

K – точка пересечения диагоналей AC и BF.

Найти:

Угол AKB в градусах и радианах.

Решение:

1. Найдем величину внутреннего угла правильного пятиугольника. Формула для суммы внутренних углов n-угольника: $S = (n-2) \times 180^\circ$. Для пятиугольника ($n=5$): $S = (5-2) \times 180^\circ = 3 \times 180^\circ = 540^\circ$. Величина одного внутреннего угла правильного пятиугольника: $\alpha = \frac{S}{n} = \frac{540^\circ}{5} = 108^\circ$. Таким образом, $\angle ABC = \angle BAF = 108^\circ$.

2. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Поскольку пятиугольник правильный, $AB = BC$. Следовательно, $\triangle ABC$ является равнобедренным. Углы при основании AC равны: $\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - \angle ABC}{2} = \frac{180^\circ - 108^\circ}{2} = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ$.

3. Рассмотрим треугольник $\triangle ABF$. Поскольку пятиугольник правильный, $AB = AF$. Следовательно, $\triangle ABF$ также является равнобедренным. Углы при основании BF равны: $\angle ABF = \angle AFB = \frac{180^\circ - \angle BAF}{2} = \frac{180^\circ - 108^\circ}{2} = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ$.

4. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABK$, где K – точка пересечения диагоналей AC и BF. Угол $\angle KAB$ – это часть угла $\angle BAF$, и он совпадает с углом $\angle BAC$, который мы нашли в пункте 2: $\angle KAB = 36^\circ$. Угол $\angle KBA$ – это часть угла $\angle ABC$, и он совпадает с углом $\angle ABF$, который мы нашли в пункте 3: $\angle KBA = 36^\circ$.

5. Сумма углов в треугольнике $\triangle ABK$ равна $180^\circ$. Таким образом, $\angle AKB = 180^\circ - (\angle KAB + \angle KBA)$ $\angle AKB = 180^\circ - (36^\circ + 36^\circ)$ $\angle AKB = 180^\circ - 72^\circ$ $\angle AKB = 108^\circ$.

6. Выразим угол $\angle AKB$ в радианах. Мы знаем, что $180^\circ = \pi$ радиан. Следовательно, $1^\circ = \frac{\pi}{180}$ радиан. $\angle AKB = 108^\circ \times \frac{\pi}{180} \text{ рад}$ $\angle AKB = \frac{108\pi}{180} \text{ рад}$ Сократим дробь: $\frac{108}{180} = \frac{36 \times 3}{36 \times 5} = \frac{3}{5}$. $\angle AKB = \frac{3\pi}{5} \text{ рад}$.

Ответ:

Угол $\angle AKB = 108^\circ$ или $\frac{3\pi}{5}$ радиан.