Номер 445, страница 179 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

445. Дан правильный пятиугольник $ABCDF$, $K$ – точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BF$. Найдите угол $AKB$ и выразите его в радианах.

Дано:

Правильный пятиугольник ABCDF.

K – точка пересечения диагоналей AC и BF.

Найти:

Угол AKB в градусах и радианах.

Решение:

1. Найдем величину внутреннего угла правильного пятиугольника. Формула для суммы внутренних углов n-угольника: $S = (n-2) \times 180^\circ$. Для пятиугольника ($n=5$): $S = (5-2) \times 180^\circ = 3 \times 180^\circ = 540^\circ$. Величина одного внутреннего угла правильного пятиугольника: $\alpha = \frac{S}{n} = \frac{540^\circ}{5} = 108^\circ$. Таким образом, $\angle ABC = \angle BAF = 108^\circ$.

2. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Поскольку пятиугольник правильный, $AB = BC$. Следовательно, $\triangle ABC$ является равнобедренным. Углы при основании AC равны: $\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - \angle ABC}{2} = \frac{180^\circ - 108^\circ}{2} = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ$.

3. Рассмотрим треугольник $\triangle ABF$. Поскольку пятиугольник правильный, $AB = AF$. Следовательно, $\triangle ABF$ также является равнобедренным. Углы при основании BF равны: $\angle ABF = \angle AFB = \frac{180^\circ - \angle BAF}{2} = \frac{180^\circ - 108^\circ}{2} = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ$.

4. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABK$, где K – точка пересечения диагоналей AC и BF. Угол $\angle KAB$ – это часть угла $\angle BAF$, и он совпадает с углом $\angle BAC$, который мы нашли в пункте 2: $\angle KAB = 36^\circ$. Угол $\angle KBA$ – это часть угла $\angle ABC$, и он совпадает с углом $\angle ABF$, который мы нашли в пункте 3: $\angle KBA = 36^\circ$.

5. Сумма углов в треугольнике $\triangle ABK$ равна $180^\circ$. Таким образом, $\angle AKB = 180^\circ - (\angle KAB + \angle KBA)$ $\angle AKB = 180^\circ - (36^\circ + 36^\circ)$ $\angle AKB = 180^\circ - 72^\circ$ $\angle AKB = 108^\circ$.

6. Выразим угол $\angle AKB$ в радианах. Мы знаем, что $180^\circ = \pi$ радиан. Следовательно, $1^\circ = \frac{\pi}{180}$ радиан. $\angle AKB = 108^\circ \times \frac{\pi}{180} \text{ рад}$ $\angle AKB = \frac{108\pi}{180} \text{ рад}$ Сократим дробь: $\frac{108}{180} = \frac{36 \times 3}{36 \times 5} = \frac{3}{5}$. $\angle AKB = \frac{3\pi}{5} \text{ рад}$.

Ответ:

Угол $\angle AKB = 108^\circ$ или $\frac{3\pi}{5}$ радиан.