Номер 438, страница 179 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

438. Расстояние от центра вписанной в прямоугольную трапецию окружности до концов большей боковой стороны равны 6 см и 8 см. Найдите площадь трапеции.

Дано:

Трапеция ABCD - прямоугольная.
В трапецию вписана окружность.
$O$ - центр вписанной окружности.
$BC$ - большая боковая сторона.
Расстояние от $O$ до $B$: $OB = 6 \text{ см}$.
Расстояние от $O$ до $C$: $OC = 8 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$OB = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$
$OC = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Площадь трапеции $S$.

Решение:

1. Поскольку центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов, то $BO$ и $CO$ являются биссектрисами углов $B$ и $C$ соответственно. В любой трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle B + \angle C = 180^\circ$.
В треугольнике $BOC$ сумма углов составляет $180^\circ$. Углы $\angle OBC = \frac{1}{2} \angle B$ и $\angle OCB = \frac{1}{2} \angle C$.
Тогда $\angle BOC = 180^\circ - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^\circ - \left(\frac{1}{2} \angle B + \frac{1}{2} \angle C\right) = 180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Таким образом, треугольник $BOC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$.

2. Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $BOC$, найдем длину боковой стороны $BC$:
$BC^2 = OB^2 + OC^2$
$BC^2 = 6^2 + 8^2$
$BC^2 = 36 + 64$
$BC^2 = 100$
$BC = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$.

3. Пусть $r$ - радиус вписанной окружности. Высота трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности, т.е. $h = 2r$.
Радиус $r$ также является высотой, опущенной из вершины прямого угла $O$ на гипотенузу $BC$ в треугольнике $BOC$, поскольку гипотенуза $BC$ является касательной к окружности.
Площадь прямоугольного треугольника $BOC$ может быть вычислена двумя способами:
$S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot OC$
$S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot r$
Приравниваем эти выражения:
$\frac{1}{2} \cdot OB \cdot OC = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot r$
$OB \cdot OC = BC \cdot r$
$6 \cdot 8 = 10 \cdot r$
$48 = 10r$
$r = \frac{48}{10} = 4.8 \text{ см}$.

4. Высота трапеции $h$ равна удвоенному радиусу:
$h = 2r = 2 \cdot 4.8 = 9.6 \text{ см}$.

5. Для трапеции, в которую можно вписать окружность, сумма длин оснований ($a+b$) равна сумме длин боковых сторон ($h+BC$). В данном случае, одна боковая сторона - это высота трапеции $h$, а другая - $BC$.
$a+b = h+BC$
$a+b = 9.6 + 10 = 19.6 \text{ см}$.

6. Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$.
$S = \frac{19.6}{2} \cdot 9.6$
$S = 9.8 \cdot 9.6$
$S = 94.08 \text{ см}^2$.

Ответ: 94.08 см$^2$