Номер 433, страница 178 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

433. Какой должна быть ширина прямоугольника, длина которого равна 12 см, чтобы, сложив его пополам, получить два прямоугольника, подобных данному?

Дано

Длина прямоугольника $L = 12 \text{ см}$.

Найти:

Ширина прямоугольника $W$.

Решение

Пусть исходный прямоугольник имеет длину $L$ и ширину $W$. Для того чтобы два прямоугольника были подобны, отношение их соответствующих сторон должно быть одинаковым. Пусть отношение большей стороны к меньшей у исходного прямоугольника равно $\frac{L}{W}$ (мы предполагаем, что $L \ge W$).

Существуют два способа сложить прямоугольник пополам (разрезать его на две равные части):

1. Разрезаем прямоугольник вдоль его длины (перпендикулярно ширине).

При таком разрезании исходный прямоугольник с размерами $L \times W$ делится на два новых прямоугольника, каждый из которых имеет размеры $\frac{L}{2} \times W$.

Рассмотрим возможные случаи для нового прямоугольника:

Случай 1.1: Если $\frac{L}{2}$ является большей стороной нового прямоугольника, а $W$ - меньшей. То есть $\frac{L}{2} \ge W$. Тогда отношение большей стороны к меньшей у нового прямоугольника равно $\frac{L/2}{W}$. Для подобия, это отношение должно быть равно отношению сторон исходного прямоугольника: $\frac{L}{W} = \frac{L/2}{W}$ Это уравнение упрощается до $1 = \frac{1}{2}$, что является ложным. Следовательно, этот случай невозможен.

Случай 1.2: Если $W$ является большей стороной нового прямоугольника, а $\frac{L}{2}$ - меньшей. То есть $W > \frac{L}{2}$. Тогда отношение большей стороны к меньшей у нового прямоугольника равно $\frac{W}{L/2}$. Для подобия: $\frac{L}{W} = \frac{W}{L/2}$ Выполним перекрестное умножение: $L \cdot \frac{L}{2} = W^2$ $\frac{L^2}{2} = W^2$ $W = \sqrt{\frac{L^2}{2}}$ $W = \frac{L}{\sqrt{2}}$ Проверим условие $W > \frac{L}{2}$: $\frac{L}{\sqrt{2}} > \frac{L}{2}$ Разделим обе части на $L$ (поскольку $L > 0$): $\frac{1}{\sqrt{2}} > \frac{1}{2}$ Умножим обе части на $2$: $\frac{2}{\sqrt{2}} > 1$ $\sqrt{2} > 1$. Это условие истинно. Таким образом, это решение является действительным. Подставим значение $L = 12 \text{ см}$: $W = \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \text{ см}$. Также проверим наше первоначальное предположение $L \ge W$: $12 \ge 6\sqrt{2}$. Это эквивалентно $144 \ge 36 \cdot 2$, или $144 \ge 72$, что истинно.

2. Разрезаем прямоугольник вдоль его ширины (перпендикулярно длине).

При таком разрезании исходный прямоугольник с размерами $L \times W$ делится на два новых прямоугольника, каждый из которых имеет размеры $L \times \frac{W}{2}$.

Рассмотрим возможные случаи для нового прямоугольника:

Случай 2.1: Если $L$ является большей стороной нового прямоугольника, а $\frac{W}{2}$ - меньшей. То есть $L \ge \frac{W}{2}$. Тогда отношение большей стороны к меньшей у нового прямоугольника равно $\frac{L}{W/2}$. Для подобия: $\frac{L}{W} = \frac{L}{W/2}$ Это уравнение упрощается до $\frac{1}{W} = \frac{2}{W}$, что означает $1=2$, если $W \ne 0$. Это ложно. Следовательно, этот случай невозможен.

Случай 2.2: Если $\frac{W}{2}$ является большей стороной нового прямоугольника, а $L$ - меньшей. То есть $\frac{W}{2} > L$. Тогда отношение большей стороны к меньшей у нового прямоугольника равно $\frac{W/2}{L}$. Для подобия: $\frac{L}{W} = \frac{W/2}{L}$ Выполним перекрестное умножение: $L^2 = W \cdot \frac{W}{2}$ $L^2 = \frac{W^2}{2}$ $W^2 = 2L^2$ $W = \sqrt{2L^2}$ $W = L\sqrt{2}$ Проверим условие $\frac{W}{2} > L$: $\frac{L\sqrt{2}}{2} > L$ Разделим обе части на $L$: $\frac{\sqrt{2}}{2} > 1$ $\sqrt{2} > 2$. Это условие ложно (так как $\sqrt{2} \approx 1.414 < 2$). Следовательно, этот случай также невозможен.

Единственным физически и математически обоснованным решением является $W = 6\sqrt{2} \text{ см}$.

Ответ:

$6\sqrt{2} \text{ см}$.