Номер 437, страница 179 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

437. a) Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, равна 6 см. Найдите площадь квадрата, вписанного в эту же окружность.

б) Около квадрата со стороной 4 дм описана окружность, а около окружности – правильный шестиугольник. Найдите площадь этого шестиугольника.

a)

Дано:

Сторона правильного треугольника $a_3 = 6$ см

Перевод в СИ:

Сторона правильного треугольника $a_3 = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Площадь квадрата $S_4$

Решение:

Радиус $R$ окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a_3$, находится по формуле: $a_3 = R\sqrt{3}$.

Отсюда $R = \frac{a_3}{\sqrt{3}}$.

Подставим значение $a_3 = 6$ см:

$R = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Для квадрата, вписанного в ту же окружность, сторона $a_4$ связана с радиусом $R$ формулой: $a_4 = R\sqrt{2}$.

Подставим найденное значение $R$:

$a_4 = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{6}$ см.

Площадь квадрата $S_4$ равна $a_4^2$.

$S_4 = (2\sqrt{6})^2 = 4 \cdot 6 = 24$ см$^2$.

Ответ: $24 \text{ см}^2$

b)

Дано:

Сторона квадрата $a_4 = 4$ дм

Перевод в СИ:

Сторона квадрата $a_4 = 4 \text{ дм} = 0.4 \text{ м}$

Найти:

Площадь правильного шестиугольника $S_6$

Решение:

Радиус $R$ окружности, описанной около квадрата со стороной $a_4$, равен половине его диагонали. Диагональ квадрата $d = a_4\sqrt{2}$.

Следовательно, $R = \frac{d}{2} = \frac{a_4\sqrt{2}}{2}$.

Подставим значение $a_4 = 4$ дм:

$R = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ дм.

Правильный шестиугольник описан около этой же окружности. Это означает, что радиус данной окружности $R$ является радиусом вписанной окружности для шестиугольника (его апофемой). Обозначим его $r_{in\_6}$.

$r_{in\_6} = R = 2\sqrt{2}$ дм.

Сторона правильного шестиугольника $a_6$, описанного около окружности радиуса $r_{in\_6}$, находится по формуле: $a_6 = \frac{2r_{in\_6}}{\sqrt{3}}$.

Подставим значение $r_{in\_6}$:

$a_6 = \frac{2(2\sqrt{2})}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ дм.

Площадь правильного шестиугольника $S_6$ можно найти по формуле $S_6 = \frac{3\sqrt{3}}{2}a_6^2$ или $S_6 = 3\sqrt{3}r_{in\_6}^2$. Используем вторую формулу, так как $r_{in\_6}$ у нас уже есть.

$S_6 = 3\sqrt{3} (2\sqrt{2})^2 = 3\sqrt{3} (4 \cdot 2) = 3\sqrt{3} \cdot 8 = 24\sqrt{3}$ дм$^2$.

Перепроверим расчеты, используя формулу $S_6 = \frac{3\sqrt{3}}{2}a_6^2$:

$S_6 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \frac{16 \cdot 2}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \frac{32}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 32 = 16\sqrt{3}$ дм$^2$.

Ошибка в одной из формул для площади шестиугольника. Формула для площади правильного шестиугольника, описанного вокруг окружности радиуса $R$, это $S_6 = 2\sqrt{3}R^2$. Это происходит потому, что $a_6 = \frac{2R}{\sqrt{3}}$.$S_6 = \frac{3\sqrt{3}}{2}a_6^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \frac{4R^2}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} 4R^2 = 2\sqrt{3}R^2$.Значит, формула $S_6 = 2\sqrt{3}R^2$ верна, где $R$ - радиус вписанной окружности для шестиугольника.

Таким образом:

$S_6 = 2\sqrt{3} (2\sqrt{2})^2 = 2\sqrt{3} (4 \cdot 2) = 2\sqrt{3} \cdot 8 = 16\sqrt{3}$ дм$^2$.

Ответ: $16\sqrt{3} \text{ дм}^2$