Номер 443, страница 179 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

443. Найдите углы трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$), если она:

а) прямоугольная с острым углом $D$ и $|\vec{AC} + \vec{BA} + \vec{DA}| = |\vec{BA}|$;

б) равнобедренная и $|\vec{DB} - \vec{DC} + \vec{AD}| = |\vec{AB}|$.

Дано:

Трапеция $ABCD$, $BC \parallel AD$.

Найти:

Углы трапеции $A, B, C, D$.

Решение

а) прямоугольная с острым углом D и $|\vec{AC} + \vec{BA} + \vec{DA}| = |\vec{BA}|$

Рассмотрим векторное равенство:

$|\vec{AC} + \vec{BA} + \vec{DA}| = |\vec{BA}|$

Используем правило сложения векторов (правило треугольника): $\vec{BA} + \vec{AC} = \vec{BC}$.

Тогда выражение в левой части становится:

$|\vec{BC} + \vec{DA}|$

В трапеции $ABCD$ основание $BC$ параллельно основанию $AD$. Это означает, что векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ параллельны и сонаправлены. Вектор $\vec{DA}$ противоположен вектору $\vec{AD}$, то есть $\vec{DA} = -\vec{AD}$.

Следовательно, векторы $\vec{BC}$ и $\vec{DA}$ параллельны и направлены в противоположные стороны. Модуль их суммы равен модулю разности их длин:

$|\vec{BC} + \vec{DA}| = |\vec{BC} - \vec{AD}| = ||\vec{BC}| - |\vec{AD}|| = |BC - AD|$.

Также $|\vec{BA}| = AB$.

Таким образом, векторное равенство принимает вид:

$|BC - AD| = AB$.

По условию трапеция $ABCD$ прямоугольная с острым углом $D$. В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. Если угол $D$ острый, то боковая сторона $AB$ должна быть перпендикулярна основаниям $AD$ и $BC$.

Следовательно, $\angle A = 90^\circ$ и $\angle B = 90^\circ$.

Проведем высоту $CK$ из вершины $C$ к основанию $AD$. Поскольку $ABCD$ прямоугольная трапеция с прямыми углами при $A$ и $B$, то $ABCK$ является прямоугольником. Отсюда $CK = AB$ и $AK = BC$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle CKD$, катет $KD = AD - AK = AD - BC$.

Из равенства $|BC - AD| = AB$ следует, что $|-(AD - BC)| = AB$, то есть $|AD - BC| = AB$.

Поскольку угол $D$ острый, то основание $AD$ должно быть длиннее основания $BC$ (иначе, если $BC > AD$, то $D$ был бы тупым или прямым, а $C$ острым). Значит $AD - BC > 0$.

Тогда $AD - BC = AB$.

Подставляем это в выражение для $KD$: $KD = AB$.

Мы знаем, что $CK = AB$. Следовательно, $KD = CK$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle CKD$ катеты $CK$ и $KD$ равны. Это означает, что треугольник $\triangle CKD$ равнобедренный и прямоугольный.

Следовательно, $\angle D = 45^\circ$. (Это острый угол, что соответствует условию).

В трапеции углы, прилежащие к одной боковой стороне, в сумме дают $180^\circ$. Таким образом, $\angle C + \angle D = 180^\circ$.

$\angle C = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Углы трапеции: $\angle A = 90^\circ$, $\angle B = 90^\circ$, $\angle C = 135^\circ$, $\angle D = 45^\circ$.

Ответ: $\angle A = 90^\circ$, $\angle B = 90^\circ$, $\angle C = 135^\circ$, $\angle D = 45^\circ$.

б) равнобедренная и $|\vec{DB} - \vec{DC} + \vec{AD}| = |\vec{AB}|$

Рассмотрим векторное равенство:

$|\vec{DB} - \vec{DC} + \vec{AD}| = |\vec{AB}|$

Используем правило вычитания векторов: $\vec{DB} - \vec{DC} = \vec{CB}$ (вектор, идущий от конца второго вектора к концу первого, если их начала совпадают).

Тогда выражение в левой части становится:

$|\vec{CB} + \vec{AD}|$

В трапеции $ABCD$ основание $BC$ параллельно основанию $AD$. Векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ параллельны и сонаправлены. Вектор $\vec{CB}$ противоположен вектору $\vec{BC}$, то есть $\vec{CB} = -\vec{BC}$.

Следовательно, векторы $\vec{CB}$ и $\vec{AD}$ параллельны и направлены в противоположные стороны. Модуль их суммы равен модулю разности их длин:

$|\vec{CB} + \vec{AD}| = ||\vec{AD}| - |\vec{CB}|| = |AD - BC|$.

Также $|\vec{AB}| = AB$.

Таким образом, векторное равенство принимает вид:

$|AD - BC| = AB$.

По условию трапеция $ABCD$ равнобедренная. Это означает, что ее боковые стороны равны: $AB = CD$.

Также в равнобедренной трапеции углы при основаниях равны: $\angle A = \angle D$ и $\angle B = \angle C$.

Проведем две высоты из вершин $B$ и $C$ к основанию $AD$. Пусть это будут $BK_1$ и $CK_2$, где $K_1$ и $K_2$ лежат на $AD$.

Тогда $BK_1 = CK_2$ (высоты трапеции).

Четырехугольник $BCK_1K_2$ является прямоугольником, поэтому $K_1K_2 = BC$.

Треугольники $\triangle ABK_1$ и $\triangle DCK_2$ являются прямоугольными и конгруэнтными (по гипотенузе и катету, $AB=CD$ и $BK_1=CK_2$, или по гипотенузе и углу $\angle A=\angle D$).

Следовательно, $AK_1 = DK_2$.

Длина основания $AD = AK_1 + K_1K_2 + DK_2 = AK_1 + BC + AK_1 = 2 AK_1 + BC$.

Отсюда $AD - BC = 2 AK_1$.

Теперь подставим это в векторное равенство $|AD - BC| = AB$.

Поскольку $AD$ обычно является большей базой, то $AD > BC$. В этом случае $AD - BC > 0$. Если бы $BC > AD$, то углы $A$ и $D$ были бы тупыми, а $B$ и $C$ острыми, что мы проверим в конце.

Итак, $AD - BC = AB$.

Подставляя $AD - BC = 2 AK_1$, получаем:

$2 AK_1 = AB$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABK_1$. Катет $AK_1$ прилежит к углу $A$, а $AB$ является гипотенузой.

$\cos(\angle A) = \frac{AK_1}{AB}$.

Из равенства $AB = 2 AK_1$ следует $AK_1 = \frac{1}{2} AB$.

$\cos(\angle A) = \frac{\frac{1}{2} AB}{AB} = \frac{1}{2}$.

Следовательно, $\angle A = 60^\circ$.

Поскольку трапеция равнобедренная, $\angle D = \angle A = 60^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Так, для боковой стороны $AB$ имеем $\angle B + \angle A = 180^\circ$ (правильнее $\angle ABC + \angle DAB = 180^\circ$).

$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Поскольку трапеция равнобедренная, $\angle C = \angle B = 120^\circ$.

Полученные углы $A=60^\circ$ и $D=60^\circ$ являются острыми, что соответствует тому, что $AD$ является большей базой (если бы $BC$ была большей базой, эти углы были бы тупыми). Следовательно, наше допущение $AD > BC$ было верным.

Углы трапеции: $\angle A = 60^\circ$, $\angle B = 120^\circ$, $\angle C = 120^\circ$, $\angle D = 60^\circ$.

Ответ: $\angle A = 60^\circ$, $\angle B = 120^\circ$, $\angle C = 120^\circ$, $\angle D = 60^\circ$.