Номер 446, страница 180 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

446. Из точки $B$ к окружности проведены касательная $BA$ ($A$ – точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $C$ и $D$, причем $C$ лежит между $B$ и $D$. Найдите радиус окружности, если $AB = 24$ см, $BC = 14.4$ см, а расстояние от центра окружности до секущей равно $9.6$ см.

Дано:

$AB = 24 \text{ см}$

$BC = 14.4 \text{ см}$

$h = 9.6 \text{ см}$ (расстояние от центра окружности до секущей, т.е. $OM$)

Перевод в СИ:

$AB = 0.24 \text{ м}$

$BC = 0.144 \text{ м}$

$h = 0.096 \text{ м}$

Найти:

Радиус окружности $R$.

Решение:

Используем теорему о касательной и секущей, проведенных из одной точки $B$ к окружности. Согласно этой теореме, квадрат длины касательной $BA$ равен произведению длины всей секущей $BD$ на длину её внешней части $BC$:

$AB^2 = BC \cdot BD$

Подставим известные значения:

$(24)^2 = 14.4 \cdot BD$

$576 = 14.4 \cdot BD$

Вычислим длину отрезка $BD$:

$BD = \frac{576}{14.4} = 40 \text{ см}$

Так как точка $C$ лежит между $B$ и $D$, то длина отрезка $CD$ (хорды) равна разности $BD$ и $BC$:

$CD = BD - BC$

$CD = 40 \text{ см} - 14.4 \text{ см} = 25.6 \text{ см}$

Пусть $M$ - это точка на хорде $CD$, которая является основанием перпендикуляра, опущенного из центра окружности $O$ на хорду. По свойству хорды, перпендикуляр из центра окружности к хорде делит её пополам. Таким образом, $M$ - середина хорды $CD$, и $OM$ - расстояние от центра до секущей, которое дано в условии.

$CM = \frac{CD}{2} = \frac{25.6 \text{ см}}{2} = 12.8 \text{ см}$

Расстояние от центра окружности $O$ до секущей (т.е. $OM$) равно $9.6 \text{ см}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OMC$. Гипотенуза $OC$ является радиусом окружности $R$. По теореме Пифагора:

$OC^2 = OM^2 + CM^2$

$R^2 = (9.6)^2 + (12.8)^2$

$R^2 = 92.16 + 163.84$

$R^2 = 256$

Извлекаем квадратный корень, чтобы найти радиус $R$:

$R = \sqrt{256}$

$R = 16 \text{ см}$

Ответ:

Радиус окружности равен $16 \text{ см}$.