Номер 440, страница 179 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

440. Найдите площадь круга, вписанного в треугольник со сторонами 15 м, 15 м, 24 м.

Дано:

Треугольник со сторонами $a=15$ м, $b=15$ м, $c=24$ м.

Перевод в СИ:

Все данные уже представлены в системе СИ (метры), поэтому перевод не требуется.

Найти:

Площадь круга, вписанного в треугольник, $A_c$.

Решение:

Для нахождения площади круга, вписанного в треугольник, нам необходимо определить радиус $r$ этого круга. Площадь круга $A_c$ вычисляется по формуле: $A_c = \pi r^2$. Радиус вписанного круга $r$ можно найти, используя площадь треугольника $S$ и его полупериметр $p$ по формуле: $r = \frac{S}{p}$.

1. Вычислим полупериметр $p$ треугольника: $p = \frac{a+b+c}{2}$ $p = \frac{15 + 15 + 24}{2} = \frac{54}{2} = 27$ м

2. Найдем площадь $S$ треугольника. Поскольку треугольник имеет две одинаковые стороны (15 м, 15 м), он является равнобедренным. Опустим высоту $h$ из вершины между равными сторонами на основание $c=24$ м. Эта высота разделит основание на две равные части: $24/2 = 12$ м. Образуются два прямоугольных треугольника, в каждом из которых гипотенуза равна 15 м, один катет равен 12 м, а второй катет - это высота $h$. По теореме Пифагора для одного из таких прямоугольных треугольников: $h^2 + 12^2 = 15^2$ $h^2 + 144 = 225$ $h^2 = 225 - 144$ $h^2 = 81$ $h = \sqrt{81} = 9$ м

Теперь, зная высоту и основание, вычислим площадь $S$ треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$ $S = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 9 = 12 \cdot 9 = 108$ м$^2$

3. Найдем радиус $r$ вписанной окружности, используя формулу $r = \frac{S}{p}$: $r = \frac{108}{27} = 4$ м

4. Вычислим площадь $A_c$ круга, вписанного в треугольник: $A_c = \pi r^2$ $A_c = \pi \cdot (4)^2 = 16\pi$ м$^2$

Ответ:

$16\pi$ м$^2$